Determine o domínio das funções vetoriais.
r(t)=lang<= t^2, raizt-1, raiz5-1rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial r(t)=lang<= t^2, raizt-1, raiz5-1rang<=. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de t para os quais a função está definida. Para achar isso, precisamos analisar cada componente da função vetorial e ver para quais valores de t todas elas são válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função: t^2. Essa é uma função polinomial simples. As funções polinomiais estão definidas para todos os números reais, ou seja, não há restrição para o valor de t aqui. Então, para essa parte, t pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: raizt-1. Aqui estamos lidando com uma raiz quadrada. Lembre-se que o que está dentro da raiz quadrada, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero para que a expressão seja definida nos números reais. Então, temos:
t - 1 >= 0 t >= 1
Isso significa que o valor de t precisa ser pelo menos 1 para que essa parte da função faça sentido.

Passo 4

A última componente é raiz5-1. Vamos simplificar isso:
raiz5-1 = raiz4 = 2
Então, essa parte da função é simplesmente o número 2. Não há nenhuma restrição aqui, já que 2 é um número real perfeitamente válido.

Passo 5

Agora, juntando tudo: para que a função vetorial completa r(t) esteja definida, todas as suas componentes precisam estar definidas simultaneamente. A primeira componente não impõe restrições, a segunda exige que t >= 1, e a terceira componente está sempre definida. Portanto, o domínio da função vetorial é determinado pela restrição mais restritiva, que neste caso é t >= 1.

Resposta

O domínio da função vetorial r(t) é todos os números reais maiores ou iguais a 1, ou seja, t >= 1.

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