Determine o domínio das funções vetoriais.
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede o domínio dessa função, ou seja, o conjunto de todos os valores de
para os quais todas as três componentes estão bem definidas. As informações relevantes que temos são as três componentes explicitadas acima.
Passo 2
Vamos analisar a primeira componente
. Para uma raiz quadrada de número real estar definida (no conjunto dos números reais), o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Em símbolos:
Agora resolvemos essa desigualdade. Primeiro isolamos o termo com
:
Multiplicando ambos os lados por
(lembre: ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte):
A solução de
é o intervalo
Portanto a primeira componente está definida para
.
Passo 3
Agora a segunda componente
. A função exponencial
está definida para todo
. Aqui
, mas isso não impõe restrição: qualquer
torna
um número real e
está definido. Logo a segunda componente tem domínio
Passo 4
Agora a terceira componente
. A função logaritmo natural
só está definida para argumentos estritamente positivos, isto é,
exige
. Aqui o argumento é
, então exigimos
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto a terceira componente está definida para
. Repare que o ponto
é proibido porque
não existe.
Passo 5
O domínio da função vetorial é a interseção dos domínios das três componentes: só podemos aceitar valores de
que satisfaçam simultaneamente todas as restrições. Então intersectamos
A interseção com
não altera nada, então reduz-se a
Passo 6
Vamos visualizar essa interseção. O intervalo
vai de
até
incluindo as extremidades. O intervalo
começa em
mas não inclui
. A parte comum aos dois é todos os
maiores que
e menores ou iguais a
. Em notação de intervalo isso é
Checagem rápida de pontos:
está em
— todas as componentes definidas;
não está (porque
indefinido);
está (porque
e
existe). Tudo consistente.