Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left\langle\sqrt{4-t^{2}}, e^{-3 t}, \ln (t+1)\right\rangle.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=\left\langle \sqrt{4-t^{2}},\; e^{-3t},\; \ln(t+1)\right\rangle
e pede o domínio dessa função, ou seja, o conjunto de todos os valores de t para os quais todas as três componentes estão bem definidas. As informações relevantes que temos são as três componentes explicitadas acima.

Passo 2

Vamos analisar a primeira componente \sqrt{4-t^{2}}. Para uma raiz quadrada de número real estar definida (no conjunto dos números reais), o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Em símbolos:
4-t^{2}\ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade. Primeiro isolamos o termo com t:
-t^{2}\ge -4.
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre: ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte):
t^{2}\le 4.
A solução de t^{2}\le 4 é o intervalo
-2\le t\le 2.
Portanto a primeira componente está definida para t\in[-2,2].

Passo 3

Agora a segunda componente e^{-3t}. A função exponencial e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Aqui x=-3t, mas isso não impõe restrição: qualquer t\in\mathbb{R} torna -3t um número real e e^{-3t} está definido. Logo a segunda componente tem domínio
t\in(-\infty,\infty).

Passo 4

Agora a terceira componente \ln(t+1). A função logaritmo natural \ln(x) só está definida para argumentos estritamente positivos, isto é, \ln(x) exige x>0. Aqui o argumento é t+1, então exigimos
t+1>0.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
t>-1.
Portanto a terceira componente está definida para t\in(-1,\infty). Repare que o ponto t=-1 é proibido porque \ln(0) não existe.

Passo 5

O domínio da função vetorial é a interseção dos domínios das três componentes: só podemos aceitar valores de t que satisfaçam simultaneamente todas as restrições. Então intersectamos
[-2,2]\\ \cap\\ (-\infty,\infty)\\ \cap\\ (-1,\infty).
A interseção com (-\infty,\infty) não altera nada, então reduz-se a
[-2,2]\cap(-1,\infty).

Passo 6

Vamos visualizar essa interseção. O intervalo [-2,2] vai de -2 até 2 incluindo as extremidades. O intervalo (-1,\infty) começa em -1 mas não inclui -1. A parte comum aos dois é todos os t maiores que -1 e menores ou iguais a 2. Em notação de intervalo isso é
(-1,2].
Checagem rápida de pontos: t=0 está em (-1,2] — todas as componentes definidas; t=-1 não está (porque \ln(0) indefinido); t=2 está (porque \sqrt{4-2^{2}}=\sqrt{0}=0 e \ln(3) existe). Tudo consistente.

Resposta

(-1,2]

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