Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(\sqrt{t}, e^{2 t}, t\right)
\mathbf{r}(t)=\left(\sqrt{t}, e^{2 t}, t\right)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio de uma função vetorial. Domínio é basicamente o conjunto de todos os valores de entrada (no caso, o
) para os quais a função está bem definida. A função que temos é:
Para achar o domínio, vamos verificar os valores de
que fazem cada componente da função funcionar direitinho.
Passo 2
Primeiro, olhemos para a primeira componente da função:
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja,
tem que ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Agora, a segunda componente é
. A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrição aqui, então
pode ser qualquer número.
Passo 4
A terceira componente é simplesmente
, que também está definida para todo número real, sem restrições.
Passo 5
Embora as segundas e terceiras componentes não restrinjam
, a primeira componente exige que
. Então, o domínio da função vetorial é o conjunto de todos os
que satisfazem essa condição.
Resposta
O domínio da função vetorial
é
.