Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(\sqrt{t}, e^{2 t}, t\right)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio de uma função vetorial. Domínio é basicamente o conjunto de todos os valores de entrada (no caso, o t ) para os quais a função está bem definida. A função que temos é:
r(t) = (raizt, e^2 t, t)
Para achar o domínio, vamos verificar os valores de t que fazem cada componente da função funcionar direitinho.

Passo 2

Primeiro, olhemos para a primeira componente da função: raizt . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, t tem que ser maior ou igual a zero:
t >= 0

Passo 3

Agora, a segunda componente é e^2 t . A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrição aqui, então t pode ser qualquer número.

Passo 4

A terceira componente é simplesmente t , que também está definida para todo número real, sem restrições.

Passo 5

Embora as segundas e terceiras componentes não restrinjam t , a primeira componente exige que t >= 0 . Então, o domínio da função vetorial é o conjunto de todos os t que satisfazem essa condição.

Resposta

O domínio da função vetorial r(t) = (raizt, e^2 t, t) é t >= 0 .

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