Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(\ln (1-t), \sin t, t^{2}\right)
\mathbf{r}(t)=\left(\ln (1-t), \sin t, t^{2}\right)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o domínio da função vetorial
. A gente vai precisar entender sobre domínio de funções vetoriais, que basicamente é o conjunto de valores para os quais todas as componentes da função estão bem definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
. O logaritmo natural,
, só é definido quando
. Então, para
existir, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
(lembre que isso inverte a desigualdade):
Então,
tem que ser menor que 1.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. A função seno está definida para todos os números reais. Não tem restrição aqui, ou seja, qualquer valor de
serve.
Passo 4
Por último, a terceira componente:
. Essa é uma função quadrática simples que também está definida para todos os números reais. Não impõe nenhuma restrição para
.
Passo 5
Para encontrar o domínio da função vetorial toda, a gente precisa considerar as restrições de todas as componentes juntas. A única restrição que encontramos foi que
. As outras componentes não impõem limitações adicionais.
Resposta
O domínio da função vetorial
é
.