Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(\ln (1-t), \sin t, t^{2}\right)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o domínio da função vetorial r(t) = (ln (1-t), sin t, t^2). A gente vai precisar entender sobre domínio de funções vetoriais, que basicamente é o conjunto de valores para os quais todas as componentes da função estão bem definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: ln(1 - t). O logaritmo natural, ln(x), só é definido quando x > 0. Então, para ln(1 - t) existir, precisamos que:
1 - t > 0
Resolvendo essa desigualdade:
-t > -1
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que isso inverte a desigualdade):
t < 1
Então, t tem que ser menor que 1.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: sin t. A função seno está definida para todos os números reais. Não tem restrição aqui, ou seja, qualquer valor de t serve.

Passo 4

Por último, a terceira componente: t^2. Essa é uma função quadrática simples que também está definida para todos os números reais. Não impõe nenhuma restrição para t.

Passo 5

Para encontrar o domínio da função vetorial toda, a gente precisa considerar as restrições de todas as componentes juntas. A única restrição que encontramos foi que t < 1. As outras componentes não impõem limitações adicionais.

Resposta

O domínio da função vetorial r(t) = (ln (1-t), sin t, t^2) é t in (-infty, 1).

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