Determine o dominio das funções vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função vetorial
.
As perguntas implícitas são:
As perguntas implícitas são:
- Para quais valores de
cada componente está bem definida? - Qual é o conjunto de
que torna todas as três componentes simultaneamente definidas (ou seja, o domínio da função vetorial)?
Informações relevantes fornecidas:
- A primeira componente é
. - A segunda componente é
. - A terceira componente é
.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o domínio de uma função vetorial
é a interseção dos domínios das componentes
,
e
. Ou seja, um valor
pertence ao domínio de
somente se todas as três componentes estiverem definidas naquele
. Vou então achar o domínio de cada componente separadamente e depois intersectá-los.
Passo 3
Analisando a primeira componente
.
- Observação:
é um polinômio. - Lembrete: polinômios estão definidos para todo número real; não há restrição (não surgem divisões por zero nem raízes de índice par de números negativos aqui).
- Portanto o domínio de
é (todos os reais).
Passo 4
Analisando a segunda componente
.
- Conceito: a função raiz quadrada
está definida somente quando o radicando é maior ou igual a zero. - Aplicando ao nosso caso: o radicando é
. Exigimos
- Resolvendo a desigualdade:
- Portanto o domínio de
é o intervalo .
Passo 5
Analisando a terceira componente
.
- Mesma ideia: exigir que o radicando seja não negativo:
- Resolvendo a desigualdade. Subtraindo
dos dois lados e multiplicando por (atenção: ao multiplicar por a desigualdade inverte o sinal),
- Portanto o domínio de
é o intervalo .
Passo 6
Interseção dos domínios das três componentes:
- Domínio de
: . - Domínio de
: . - Domínio de
: .
A interseção
é o intervalo onde simultaneamente vale
e
, ou seja
.
Verificação das extremidades (pra ficar seguro):
- Para
: e . Tudo definido. - Para
: e . Tudo definido.
Portanto não há dificuldade nas bordas; ambos os extremos pertencem ao domínio.