Determine o dominio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, \sqrt{t-1}, \sqrt{5-t}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função vetorial
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, \sqrt{t-1}, \sqrt{5-t}\right).
As perguntas implícitas são:
  • Para quais valores de t cada componente está bem definida?
  • Qual é o conjunto de t que torna todas as três componentes simultaneamente definidas (ou seja, o domínio da função vetorial)?
Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira componente é t^{2}.
  • A segunda componente é \sqrt{t-1}.
  • A terceira componente é \sqrt{5-t}.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o domínio de uma função vetorial \mathbf{r}(t) = (f(t), g(t), h(t)) é a interseção dos domínios das componentes f, g e h. Ou seja, um valor t pertence ao domínio de \mathbf{r} somente se todas as três componentes estiverem definidas naquele t. Vou então achar o domínio de cada componente separadamente e depois intersectá-los.

Passo 3

Analisando a primeira componente f(t)=t^{2}.
  • Observação: t^{2} é um polinômio.
  • Lembrete: polinômios estão definidos para todo número real; não há restrição (não surgem divisões por zero nem raízes de índice par de números negativos aqui).
  • Portanto o domínio de f é \mathbb{R} (todos os reais).

Passo 4

Analisando a segunda componente g(t)=\sqrt{t-1}.
  • Conceito: a função raiz quadrada \sqrt{x} está definida somente quando o radicando x é maior ou igual a zero.
  • Aplicando ao nosso caso: o radicando é t-1. Exigimos
t-1 \ge 0.
  • Resolvendo a desigualdade:
t \ge 1.
  • Portanto o domínio de g é o intervalo [1,\infty).

Passo 5

Analisando a terceira componente h(t)=\sqrt{5-t}.
  • Mesma ideia: exigir que o radicando seja não negativo:
5-t \ge 0.
  • Resolvendo a desigualdade. Subtraindo 5 dos dois lados e multiplicando por -1 (atenção: ao multiplicar por -1 a desigualdade inverte o sinal),
-t \ge -5 \quad\Rightarrow\quad t \le 5.
  • Portanto o domínio de h é o intervalo (-\infty,5].

Passo 6

Interseção dos domínios das três componentes:
  • Domínio de t^{2}: \mathbb{R}.
  • Domínio de \sqrt{t-1}: [1,\infty).
  • Domínio de \sqrt{5-t}: (-\infty,5].
A interseção \mathbb{R}\cap[1,\infty)\cap(-\infty,5] é o intervalo onde simultaneamente vale t\ge 1 e t\le 5, ou seja [1,5].
Verificação das extremidades (pra ficar seguro):
  • Para t=1: \sqrt{t-1}=\sqrt{0}=0 e \sqrt{5-t}=\sqrt{4}=2. Tudo definido.
  • Para t=5: \sqrt{t-1}=\sqrt{4}=2 e \sqrt{5-t}=\sqrt{0}=0. Tudo definido.
Portanto não há dificuldade nas bordas; ambos os extremos pertencem ao domínio.

Resposta

[1,5]

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