Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
do vetor
As informações dadas são exatamente as três componentes:
- primeira componente:
; - segunda componente:
; - terceira componente:
.
O objetivo é calcular o limite do vetor completo quandose aproxima de .
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): o limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites das componentes, desde que cada limite de componente exista. Em símbolos:
Portanto, vamos calcular separadamente os três limites escalares e depois recompor o vetor.
Passo 3
Primeira componente: calcular
.
Motivo e ideia: a função
é contínua onde o argumento é positivo. Como
em
vale
, podemos simplesmente substituir
.
Cálculo:
Explicação extra tranquila: continuidade significa que não há “quebra” ali, então o limite é o valor da função no ponto.
Passo 4
Segunda componente: calcular
.
Observação: ao substituir
obtemos a forma indeterminada
. Isso indica que devemos manipular algebricamente antes de avaliar o limite.
Fatorando o denominador:
Para
podemos cancelar o fator comum
, ficando
Como a função simplificada coincide com a original para
, os limites são iguais. Agora avaliamos o limite da forma simplificada:
Comentário didático: cancelar um fator que torna a expressão indeterminada é um método padrão para lidar com
quando a indeterminação é removível.
Passo 5
Terceira componente: calcular
.
Raciocínio: a função
é contínua em pontos onde
. Em
(radianos) temos
(numericamente
), logo
é contínua em
. Além disso, o denominador
tende a
, então não há indeterminação por divisão por zero. Portanto podemos substituir diretamente
.
Cálculo:
Se quiser uma ideia numérica (apenas para intuição),
, mas o valor exato que deixamos é
.
Passo 6
Juntando os resultados das três componentes (pela regra do Passo 2), o limite vetorial é