Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 1}\left(\sqrt{t+3} \mathbf{i}+\frac{t-1}{t^{2}-1} \mathbf{j}+\frac{\tan t}{t} \mathbf{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t \to 1 do vetor
\sqrt{t+3}\,\mathbf{i}+\frac{t-1}{t^{2}-1}\,\mathbf{j}+\frac{\tan t}{t}\,\mathbf{k}.
As informações dadas são exatamente as três componentes:
  • primeira componente: \sqrt{t+3};
  • segunda componente: \dfrac{t-1}{t^{2}-1};
  • terceira componente: \dfrac{\tan t}{t}.
    O objetivo é calcular o limite do vetor completo quando t se aproxima de 1.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): o limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites das componentes, desde que cada limite de componente exista. Em símbolos:
\lim_{t\to 1}\big(f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j}+h(t)\,\mathbf{k}\big) = \big(\lim_{t\to 1}f(t)\big)\,\mathbf{i}+\big(\lim_{t\to 1}g(t)\big)\,\mathbf{j}+\big(\lim_{t\to 1}h(t)\big)\,\mathbf{k}.
Portanto, vamos calcular separadamente os três limites escalares e depois recompor o vetor.

Passo 3

Primeira componente: calcular \lim_{t\to 1}\sqrt{t+3}.
Motivo e ideia: a função \sqrt{\cdot} é contínua onde o argumento é positivo. Como t+3 em t=1 vale 4>0, podemos simplesmente substituir t=1.
Cálculo:
\lim_{t\to 1}\sqrt{t+3}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Explicação extra tranquila: continuidade significa que não há “quebra” ali, então o limite é o valor da função no ponto.

Passo 4

Segunda componente: calcular \lim_{t\to 1}\dfrac{t-1}{t^{2}-1}.
Observação: ao substituir t=1 obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que devemos manipular algebricamente antes de avaliar o limite.
Fatorando o denominador:
t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Para t\neq 1 podemos cancelar o fator comum (t-1), ficando
\frac{t-1}{t^{2}-1}=\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}=\frac{1}{t+1}\qquad (t\neq 1).
Como a função simplificada coincide com a original para t\neq 1, os limites são iguais. Agora avaliamos o limite da forma simplificada:
\lim_{t\to 1}\frac{t-1}{t^{2}-1}=\lim_{t\to 1}\frac{1}{t+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Comentário didático: cancelar um fator que torna a expressão indeterminada é um método padrão para lidar com \tfrac{0}{0} quando a indeterminação é removível.

Passo 5

Terceira componente: calcular \lim_{t\to 1}\dfrac{\tan t}{t}.
Raciocínio: a função \tan t é contínua em pontos onde \cos t\neq 0. Em t=1 (radianos) temos \cos 1\neq 0 (numericamente \cos 1\approx 0,5403), logo \tan t é contínua em t=1. Além disso, o denominador t tende a 1\neq 0, então não há indeterminação por divisão por zero. Portanto podemos substituir diretamente t=1.
Cálculo:
\lim_{t\to 1}\frac{\tan t}{t}=\frac{\tan 1}{1}=\tan 1.
Se quiser uma ideia numérica (apenas para intuição), \tan 1\approx 1,5574, mas o valor exato que deixamos é \tan 1.

Passo 6

Juntando os resultados das três componentes (pela regra do Passo 2), o limite vetorial é
2\,\mathbf{i}+\frac{1}{2}\,\mathbf{j}+\tan 1\,\mathbf{k}.

Resposta

\,2\mathbf{i}+\dfrac{1}{2}\mathbf{j}+\tan 1\mathbf{k}

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