Determine o domínio das funções:
f(x)=\frac{3 x}{x^{2}-5}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3x}{x^{2}-5}
e pede para determinar o domínio dessa função. Vou assumir que estamos procurando o domínio para números reais (ou seja, todos os x\in\mathbb{R} que fazem a expressão bem definida). As informações relevantes do enunciado são apenas a expressão do numerador 3x e do denominador x^{2}-5.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? O domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão da função está bem definida como número real. Em expressões racionais (frações), a única restrição típica é que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Portanto, para encontrar o domínio de f basta achar todos os x que tornam o denominador diferente de zero:
x^{2}-5\neq 0.

Passo 3

Vamos resolver a equação que torna o denominador zero, para depois excluí-la do domínio:
x^{2}-5=0.
Somando 5 em ambos os lados:
x^{2}=5.
Agora extraindo a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que a raiz quadrada de 5 tem duas soluções, positiva e negativa):
x=\pm\sqrt{5}.
Ou seja, x=\sqrt{5} e x=-\sqrt{5} são exatamente os valores que anulam o denominador.

Passo 4

Como esses dois valores deixam o denominador igual a zero, eles devem ser excluídos do domínio. Assim o domínio é o conjunto de todos os reais exceto \sqrt{5} e -\sqrt{5}. Em notação de conjuntos:
\mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt{5}\}.
Em notação de intervalos:
(-\infty,-\sqrt{5})\cup(-\sqrt{5},\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},\infty).

Passo 5

Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
  • Se x=0 (que não é \pm\sqrt{5}), então f(0)=\dfrac{3\cdot 0}{0^{2}-5}=0 está bem definido.
  • Se x=\sqrt{5}, o denominador fica \sqrt{5}^{\,2}-5=5-5=0, então f(\sqrt{5}) é indefinido (divisão por zero).

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt{5}\}

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