Determine o domínio das funções:
p(x)=\frac{5}{x^{2}-2 x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função p(x)=\dfrac{5}{x^{2}-2x}.
Informações dadas:
  • A expressão da função é p(x)=\dfrac{5}{x^{2}-2x}.
  • Trata‑se de uma expressão racional (fração) cujo denominador é x^{2}-2x.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui e o que devemos evitar:
  • Domínio = conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão p(x) está bem definida.
  • Para uma fração, a única causa de indefinição é o denominador ser zero. Então precisamos impedir valores de x que tornem o denominador igual a zero.
  • Não há outras operações perigosas na expressão (como raiz de número negativo ou logaritmo), então só precisamos tratar o denominador.

Passo 3

Vamos analisar o denominador e procurar suas raízes. Primeira etapa: fatorar x^{2}-2x.
x^{2}-2x = x\,(x-2).
Explicação do fato: aqui foi fator comum x; multiplicando x por x-2 volta a dar x^{2}-2x.

Passo 4

Usamos a propriedade do produto nulo: se x\,(x-2)=0 então x=0 ou x-2=0. Logo as raízes do denominador são
x=0 \quad\text{e}\quad x=2.
Esses valores deixam o denominador igual a zero e, portanto, são proibidos no domínio.

Passo 5

Verificação de cancelamento: o numerador é a constante 5, que nunca é zero, então não há fator comum para cancelar e eliminar alguma proibição. Mesmo que houvesse cancelamento algébrico, a expressão original fica indefinida nos pontos onde o denominador foi zero (removível ou não), então sempre excluímos essas raízes do domínio.

Passo 6

Conclusão prática e exemplo:
  • O domínio é todos os números reais exceto 0 e 2.
  • Exemplo rápido: p(1)=\dfrac{5}{1^{2}-2\cdot1}=\dfrac{5}{-1}=-5 — isso mostra que valores entre as exclusões são permitidos.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0,\;x\neq 2\}
(-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,\infty)

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