Determine o dominio das funçõs vetoriàs:
b) r^-7(t)=(tt^2-1, sen(pit^2+4), ln (t+1t^3+1))

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial vec r^-7(t)=l(tfractt^2-1,;sinl(tfracpit^2+4r),;lnl(tfract+1t^3+1r)r). O conteúdo é análise de domínio: precisamos achar para que valores de t cada componente esteja bem definida.

Passo 2

Para a primeira componente tfractt^2-1 temos que o denominador não pode ser zero. Então impomos
t^2-1neq0
que dá tneqpm1.

Passo 3

A segunda componente é sinl(tfracpit^2+4r). A função sin está definida para qualquer argumento real, e t^2+4>0 para todo t, então não há restrição extra aqui.

Passo 4

Na terceira componente lnl(tfract+1t^3+1r) precisamos de duas coisas: o argumento da ln deve ser positivo e o denominador interno não pode ser zero.
  1. t^3+1neq0 implica tneq-1.
  2. Requeremos
t+1t^3+1>0
Note que t^3+1=(t+1)(t^2-t+1), e t^2-t+1>0 para todo t (discriminante negativo). Logo o sinal de (t+1)/(t^3+1) é o mesmo de (t+1)/(t+1), isto é, sempre +1 quando tneq-1. Assim a condição de positividade vale para qualquer tneq-1.

Passo 5

Juntando todas as restrições temos:
  • Da primeira componente: tneqpm1.
  • Da terceira componente: tneq-1 (já incluso em tneqpm1).
  • A segunda não impõe nada.
Portanto o domínio é todos os tin R excluindo t=1 e t=-1.

Resposta

O domínio é tin R:tneq-1,,tneq1, ou em notação de intervalo: ( -infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty).

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