Encontre os valores dos seguintes limites, caso os mesmos existam:
lim (x, y) (0,0) y^3-x^3x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos encontrar o limite da função y^3-x^3x-y quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso envolve entender limites de funções com duas variáveis e usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador: y^3 - x^3. Isso é uma diferença de cubos, e tem uma fórmula pra fatorar: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Aplicando essa fórmula aqui:
y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + xy + x^2)

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
y^3-x^3x-y = (y - x)(y^2 + xy + x^2)x - y
Perceba que x - y = -(y - x), então podemos reescrever o denominador como -(y - x). Assim, a expressão fica:
(y - x)(y^2 + xy + x^2)-(y - x) = -(y^2 + xy + x^2)

Passo 4

Agora, simplificamos a função para -(y^2 + xy + x^2). Para encontrar o limite quando (x, y) to (0,0), substituímos x = 0 e y = 0:
-(0^2 + 0 cdot 0 + 0^2) = -(0 + 0 + 0) = 0

Resposta

O limite é 0.

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