Encontre os valores dos seguintes limites, caso os mesmos existam:
lim (x, y) (0,0) x^3 y ln (y^2+1x+2)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede pra encontrar:
lim(x, y) (0,0) x^3 y ln (y^2+1x+2)x^2+y^2
Aqui, a gente está lidando com limites de funções de duas variáveis. Isso envolve entender como a função se comporta quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Vamos precisar usar conhecimentos de limites, propriedades de logaritmos e um pouquinho de análise de comportamento de funções multivariadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $.
No numerador, temos $ x^{3} y $ multiplicado por $ \ln \left(y^{2}+\frac{1}{x+2}\right) $. No denominador, temos $ x^{2} + y^{2} $.
Vamos começar entendendo o comportamento de $ \frac{1}{x+2} $ quando $ x $ se aproxima de 0.
Quando $ x $ está perto de 0, $ x + 2 $ está perto de 2, então $ \frac{1}{x+2} $ está perto de $ \frac{1}{2} $. Portanto, $ y^{2} + \frac{1}{x+2} $ está perto de $ y^{2} + \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o logaritmo:
ln (y^2+1x+2) approx ln (12 + y^2)
Quando $ y $ se aproxima de 0, $ y^{2} $ também se aproxima de 0, então:
y
Então, para valores bem pequenos de $ y $ e $ x $, podemos aproximar:
y^2

Passo 4

Substituindo essa aproximação no numerador da nossa função:
x^3 y ln (y^2+1x+2) approx x^3 y cdot (-ln 2) = -ln 2 cdot x^3 y
Portanto, a nossa função original fica aproximadamente:
-ln 2 cdot x^3 yx^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de $ \frac{x^{3} y}{x^{2} + y^{2}} $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $.
Para isso, vamos usar coordenadas polares, onde:
x^3 yx^2 + y^2
Aqui, $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo. Quando $ r $ se aproxima de 0, $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $.

Passo 6

Substituindo $ x $ e $ y $ em coordenadas polares na nossa expressão:
x
Como $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $, simplificamos para:
y

Passo 7

Agora, a expressão fica:
-ln 2 cdot r^2 cos^3 theta sin theta
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando $ r $ se aproxima de 0. Note que $ \cos^{3} \theta \sin \theta $ é limitado, já que $ |\cos \theta| \leq 1 $ e $ |\sin \theta| \leq 1 $:
r

Passo 8

Como $ r^{2} $ se aproxima de 0 quando $ r $ se aproxima de 0, então:
r^2
Portanto, pelo critério do sanduíche (ou Teorema do Confronto), concluímos que:
r

Resposta

O limite é igual a 0.

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