Determine o domínio e a imagem de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
O que é pedido:
- Determinar o domínio de
(ou seja, o conjunto de todos os pares para os quais está bem definida como número real). - Determinar a imagem (ou conjunto-valor, também chamado de contradomínio efetivo) de
— todos os valores reais que assume.
Informações explícitas fornecidas no enunciado:
- A função envolve a raiz quadrada
. - O argumento da raiz é
.
Passo 2
Condição para
ser real: lembrar a propriedade básica da raiz quadrada real. Para que
seja um número real, é necessário e suficiente que
.
Aplicando isso ao nosso caso, o argumento da raiz deve satisfazer
Essa desigualdade é a condição que define o domínio de
.
Passo 3
Resolver a desigualdade para descrever geometricamente o domínio. Reorganizando temos
Isto significa que o domínio é o conjunto de todos os pontos
cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor ou igual a
. Em termos geométricos, isso é o disco fechado de centro na origem e raio
(pois
). Portanto:
Passo 4
Agora vamos encontrar a imagem. Primeiro, a partir da desigualdade do Passo 3 segue
Aplicando a raiz quadrada (função monotônica crescente em
) obtemos
Isto mostra que para todo
do domínio vale
, ou seja, os valores possíveis de
estão contidos no intervalo
.
Passo 5
Verificar que os extremos
e
são realmente atingidos (para que a imagem seja exatamente
e não apenas um subconjunto).
- Valor máximo
: escolha . Então
Logo
é atingido.
- Valor mínimo
: escolha qualquer ponto na fronteira do disco de raio , por exemplo . Então
Logo
também é atingido.
Como todos os valores entre
e
aparecem quando
varia continuamente de
até
(uma vez que
é contínua no domínio), a imagem é todo o intervalo fechado
.
Resposta
Domínio:
.
Imagem:
.