Determine o domínio e a imagem de cada função abaixo:
f(x, y)=\sqrt{64-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a função \,f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\, dada por
f(x,y)=\sqrt{64-x^{2}-y^{2}}.
O que é pedido:
  • Determinar o domínio de f (ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais f(x,y) está bem definida como número real).
  • Determinar a imagem (ou conjunto-valor, também chamado de contradomínio efetivo) de f — todos os valores reais que f assume.
Informações explícitas fornecidas no enunciado:
  • A função envolve a raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;}.
  • O argumento da raiz é 64-x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Condição para f ser real: lembrar a propriedade básica da raiz quadrada real. Para que \sqrt{A} seja um número real, é necessário e suficiente que A\ge0.
Aplicando isso ao nosso caso, o argumento da raiz deve satisfazer
64-x^{2}-y^{2}\ge0.
Essa desigualdade é a condição que define o domínio de f.

Passo 3

Resolver a desigualdade para descrever geometricamente o domínio. Reorganizando temos
x^{2}+y^{2}\le64.
Isto significa que o domínio é o conjunto de todos os pontos (x,y) cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor ou igual a \,64. Em termos geométricos, isso é o disco fechado de centro na origem e raio \,8 (pois \sqrt{64}=8). Portanto:
\text{Domínio}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le64\}.í

Passo 4

Agora vamos encontrar a imagem. Primeiro, a partir da desigualdade do Passo 3 segue
0\le64-x^{2}-y^{2}\le64.
Aplicando a raiz quadrada (função monotônica crescente em [0,\infty)) obtemos
0\le \sqrt{64-x^{2}-y^{2}}\le \sqrt{64}=8.
Isto mostra que para todo (x,y) do domínio vale \,0\le f(x,y)\le8, ou seja, os valores possíveis de f estão contidos no intervalo [0,8].

Passo 5

Verificar que os extremos \,0 e \,8 são realmente atingidos (para que a imagem seja exatamente [0,8] e não apenas um subconjunto).
  • Valor máximo \,8: escolha (x,y)=(0,0). Então
f(0,0)=\sqrt{64-0^{2}-0^{2}}=\sqrt{64}=8.
Logo \,8 é atingido.
  • Valor mínimo \,0: escolha qualquer ponto na fronteira do disco de raio \,8, por exemplo (x,y)=(8,0). Então
f(8,0)=\sqrt{64-8^{2}-0^{2}}=\sqrt{64-64}=\sqrt{0}=0.
Logo \,0 também é atingido.
Como todos os valores entre 0 e 8 aparecem quando x^{2}+y^{2} varia continuamente de 64 até 0 (uma vez que f é contínua no domínio), a imagem é todo o intervalo fechado [0,8].

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le64\}.
Imagem: [0,8].

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