Exercício 5 A temperatura T (em { }^{\circ} C ) registrada em uma cidade ao longo de um dia foi:
Hora t(h) 0 6 12 18
T\left({ }^{\circ} C\right) 14,0 17,0 26,0 22,0
(a) Determine o polinômio interpolante de Lagrange de grau 3.
(b) Estime a temperatura às t=9 h.
(c) Estime o horário em que a temperatura foi máxima segundo o polinômio interpolante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Pontos (hora, temperatura) fornecidos:
    • (t_0,T_0)=(0,\;14,0)
    • (t_1,T_1)=(6,\;17,0)
    • (t_2,T_2)=(12,\;26,0)
    • (t_3,T_3)=(18,\;22,0)
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar o polinômio interpolante de Lagrange de grau 3 que passa por esses quatro pontos.
    (b) Estimar a temperatura em t=9\\ \text{h} usando esse polinômio.
    (c) Estimar o horário em que a temperatura é máxima segundo esse polinômio (ou seja, achar o t que maximiza o polinômio).

Passo 2

Apresentar a fórmula de Lagrange e explicar como construir cada termo (aula curta).
  • A fórmula do polinômio interpolante de Lagrange de grau n para nós (t_j,y_j), j=0,\dots,n, é
P(t)=\sum_{j=0}^{n} y_j\,\ell_j(t),
onde cada polinômio base \ell_j(t) é dado por
\ell_j(t)=\prod_{\substack{0\le k\le n\k\ne j}}\frac{t-t_k}{t_j-t_k}.
  • Aqui: t é a variável (hora), t_j são as abscissas dos nós (0,6,12,18) e y_j=T_j são as temperaturas. Cada \ell_j(t) satisfaz \ell_j(t_i)=\delta_{ij} (igual a 1 quando i=j e 0 quando i\ne j), então P(t_i)=y_i.
  • Plano prático: calcular \ell_0,\ell_1,\ell_2,\ell_3, multiplicar por 14,17,26,22 e somar.

Passo 3

Calcular explicitamente os polinômios base \ell_j(t) com os nós dados.
Nós: t_0=0,\\ t_1=6,\\ t_2=12,\\ t_3=18.
Calcular denominadores e escrever \ell_j(t):
  • Para j=0:
\ell_0(t)=\frac{(t-6)(t-12)(t-18)}{(0-6)(0-12)(0-18)} =\frac{(t-6)(t-12)(t-18)}{(-6)(-12)(-18)}=\frac{(t-6)(t-12)(t-18)}{-1296}.
  • Para j=1:
\ell_1(t)=\frac{t(t-12)(t-18)}{(6-0)(6-12)(6-18)} =\frac{t(t-12)(t-18)}{6\cdot(-6)\cdot(-12)}=\frac{t(t-12)(t-18)}{432}.
  • Para j=2:
\ell_2(t)=\frac{t(t-6)(t-18)}{(12-0)(12-6)(12-18)} =\frac{t(t-6)(t-18)}{12\cdot6\cdot(-6)}=\frac{t(t-6)(t-18)}{-432}.
  • Para j=3:
\ell_3(t)=\frac{t(t-6)(t-12)}{(18-0)(18-6)(18-12)} =\frac{t(t-6)(t-12)}{18\cdot12\cdot6}=\frac{t(t-6)(t-12)}{1296}.

Passo 4

Montar o polinômio P(t) somando y_j\ell_j(t) e simplificar passo a passo.
Escrevendo cada termo:
\begin{aligned} 14\,\ell_0(t)&=14\cdot\frac{(t-6)(t-12)(t-18)}{-1296}=-\frac{7}{648}(t-6)(t-12)(t-18),\\[4pt] 17\,\ell_1(t)&=\frac{17}{432}\,t(t-12)(t-18),\\[4pt] 26\,\ell_2(t)&=-\frac{13}{216}\,t(t-6)(t-18),\\[4pt] 22\,\ell_3(t)&=\frac{11}{648}\,t(t-6)(t-12). \end{aligned}
Agora expandir as parcelas fundamentais (fazer as multiplicações com cuidado):
  • (t-6)(t-12)(t-18)=t^3-36t^2+396t-1296.
  • t(t-12)(t-18)=t^3-30t^2+216t.
  • t(t-6)(t-18)=t^3-24t^2+108t.
  • t(t-6)(t-12)=t^3-18t^2+72t.
Multiplicando pelos coeficientes e somando termo a termo (mostrando combinação):
  • Coeficiente de t^3:
-\frac{7}{648}+ \frac{17}{432}-\frac{13}{216}+\frac{11}{648} = -\frac{19}{1296}.
  • Coeficiente de t^2:
\frac{7}{18}-\frac{85}{72}+\frac{13}{9}-\frac{11}{36}=\frac{25}{72}.
  • Coeficiente de t:
-\frac{77}{18}+\frac{17}{2}-\frac{13}{2}+\frac{11}{9}=-\frac{19}{18}.
  • Termo constante:
14\quad(\text{aparece só do primeiro termo})ó
Portanto, o polinômio interpolante de grau 3 é
P(t)=-\frac{19}{1296}t^3+\frac{25}{72}t^2-\frac{19}{18}t+14.]

Passo 5

(a) Interpretar o polinômio encontrado e checar rapidamente nos nós (verificação rápida).
  • Verificação rápida (basta avaliar em t=0,6,12,18): por construção P(0)=14,\\ P(6)=17,\\ P(12)=26,\\ P(18)=22. Isso confirma que a construção está correta.

Passo 6

(b) Estimar a temperatura em t=9\\ \text{h} avaliando P(9).
Avaliar P(9):
P(9)=-\frac{19}{1296}\cdot 9^3+\frac{25}{72}\cdot 9^2-\frac{19}{18}\cdot 9+14.
Fazendo contas:
9^3=729,\quad \frac{729}{1296}=\frac{9}{16}.
Logo
-\frac{19}{1296}\cdot 729=-\frac{19\cdot9}{16}=-\frac{171}{16}=-10{,}6875,
\frac{25}{72}\cdot 81=\frac{25\cdot9}{8}=\frac{225}{8}=28{,}125,
-\frac{19}{18}\cdot 9=-\frac{19}{2}=-9{,}5.
Somando:
P(9)=-10{,}6875+28{,}125-9{,}5+14=21{,}9375.
Portanto a estimativa é P(9)=21{,}9375\,^\circ\mathrm{C} (aprox. 21{,}94\,^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

(c) Determinar o horário do máximo do polinômio: estudar a derivada, achar pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada.
  • Derivada de P(t):
P'(t)=-\frac{19}{1296}\cdot 3t^2+\frac{25}{72}\cdot 2t-\frac{19}{18} =-\frac{19}{432}t^2+\frac{25}{36}t-\frac{19}{18}.
  • Zerar a derivada para achar candidatos:
-\frac{19}{432}t^2+\frac{25}{36}t-\frac{19}{18}=0.
Multiplicando ambos os lados por 432 para eliminar denominadores:
-19t^2+300t-456=0.
Multiplicando por -1:
19t^2-300t+456=0.
  • Resolver a equação quadrática pela fórmula de Bhaskara:
t=\frac{300\pm\sqrt{300^2-4\cdot19\cdot456}}{2\cdot19} =\frac{300\pm\sqrt{55344}}{38}.
As duas raízes numéricas são aproximadamente
t_1\approx 1{,}704\\ \text{h},\qquad t_2\approx 14{,}087\\ \text{h}.
  • Fazer o teste da segunda derivada para classificar:
P''(t)=-\frac{19}{216}t+\frac{25}{36}.
Avaliar em t_1\approx1{,}704: P''(t_1)>0 (mínimo).
Avaliar em t_2\approx14{,}087: P''(t_2)<0 (máximo).
Logo o polinômio tem máximo em t\approx 14{,}087\\ \text{h}, ou seja, aproximadamente às 14 horas e 0{,}087\cdot60\approx5{,}2 minutos (aprox. 14h05min).

Resposta

(a) P(t)=-\dfrac{19}{1296}t^3+\dfrac{25}{72}t^2-\dfrac{19}{18}t+14.
(b) P(9)=21{,}9375\\ ^\circ\mathrm{C} (aprox. 21{,}94^\circ\mathrm{C}).
(c) Horário do máximo segundo P: t\approx\displaystyle\frac{300+\sqrt{55344}}{38}\approx14{,}087\\ \text{h} (aprox. 14h05min).

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