Exercício
temperatura
(em
) registrada em uma cidade ao longo de um dia foi:
Hora
0
6
12
18
14,0
17,0
26,0
22,0
(a) Determine o polinômio interpolante de Lagrange de grau 3.
(b) Estime a temperatura às
.
(c) Estime o horário em que a temperatura foi máxima segundo o polinômio interpolante.
| Hora
|
0 | 6 | 12 | 18 |
|
|
14,0 | 17,0 | 26,0 | 22,0 |
(b) Estime a temperatura às
(c) Estime o horário em que a temperatura foi máxima segundo o polinômio interpolante.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Pontos (hora, temperatura) fornecidos:
-
-
O enunciado pede:
(a) Determinar o polinômio interpolante de Lagrange de grauque passa por esses quatro pontos.
(b) Estimar a temperatura emusando esse polinômio.
(c) Estimar o horário em que a temperatura é máxima segundo esse polinômio (ou seja, achar oque maximiza o polinômio).
Passo 2
Apresentar a fórmula de Lagrange e explicar como construir cada termo (aula curta).
- A fórmula do polinômio interpolante de Lagrange de grau
para nós , , é
onde cada polinômio base
é dado por
- Aqui:
é a variável (hora), são as abscissas dos nós (0,6,12,18) e são as temperaturas. Cada satisfaz (igual a quando e quando ), então . - Plano prático: calcular
, multiplicar por e somar.
Passo 3
Calcular explicitamente os polinômios base
com os nós dados.
Nós:
.
Calcular denominadores e escrever
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Montar o polinômio
somando
e simplificar passo a passo.
Escrevendo cada termo:
Agora expandir as parcelas fundamentais (fazer as multiplicações com cuidado):
Multiplicando pelos coeficientes e somando termo a termo (mostrando combinação):
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Portanto, o polinômio interpolante de grau
é
Passo 5
(a) Interpretar o polinômio encontrado e checar rapidamente nos nós (verificação rápida).
- Verificação rápida (basta avaliar em
): por construção . Isso confirma que a construção está correta.
Passo 6
(b) Estimar a temperatura em
avaliando
.
Avaliar
:
Fazendo contas:
Logo
Somando:
Portanto a estimativa é
(aprox.
).
Passo 7
(c) Determinar o horário do máximo do polinômio: estudar a derivada, achar pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada.
- Derivada de
:
- Zerar a derivada para achar candidatos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Multiplicando por
:
- Resolver a equação quadrática pela fórmula de Bhaskara:
As duas raízes numéricas são aproximadamente
- Fazer o teste da segunda derivada para classificar:
Avaliar em
:
(mínimo).
Avaliar em :
(máximo).
Avaliar em
Logo o polinômio tem máximo em
, ou seja, aproximadamente às
horas e
minutos (aprox. 14h05min).
Resposta
(a)
(b)
(aprox.
).
(c) Horário do máximo segundo
:
(aprox. 14h05min).