Determine o domínio e a imagem de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
.
A função fornecida é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As variáveis são
em . - Na expressão aparece
, portanto há potencial restrição em . - A função exponencial
está presente.
Passo 2
O que é domínio?
O domínio é o conjunto de todos os pontos em
para os quais a expressão de
está bem definida (ou seja, não leva a operações proibidas como divisão por zero, raízes de índice par de número negativo sem definição real, etc.).
O domínio é o conjunto de todos os pontos
Aplicando isso a
:
- A operação potencialmente problemática é
, que exige . - A função exponencial
está definida para todo , então não impõe restrição adicional.
Logo, a única restrição é
.
Passo 3
Concluir o domínio a partir da restrição:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares com
. Em notação:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares
Explicação intuitiva: pode escolher qualquer
e qualquer
diferente de zero, e a expressão
é bem definida.
Passo 4
O que é imagem (ou contradomínio efetivo)?
A imagem de é o conjunto de todos os valores reais
que aparecem como
para algum
no domínio.
A imagem de
Para mostrar qual é a imagem, é comum tentar, para um valor arbitrário
, encontrar
tal que
. Se for possível para todo
, então a imagem é
.
Passo 5
Analisar a forma da função e propriedades úteis:
- Para qualquer
vale . Ou seja, o fator exponencial é sempre um número real positivo. - Fixando qualquer
, a função em é linear: com . Uma função linear com é sobrejetora em : para qualquer alvo existe que dá .
Passo 6
Construir solução explícita para um
arbitrário:
Seja qualquer. Escolha qualquer
(por exemplo
é uma escolha simples). Então
. Tomando
Seja
temos
no domínio (porque
) e
Assim qualquer
é atingido por
.
Passo 7
Concluir a imagem:
Do passo anterior segue que a imagem de é todo o conjunto dos números reais, isto é
Do passo anterior segue que a imagem de