Determine o domínio e a imagem de cada função abaixo:
f(x, y)=y e^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f.
A função fornecida é
f(x,y)=y e^{\frac{1}{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As variáveis são (x,y) em \mathbb{R}^2.
  • Na expressão aparece \frac{1}{x}, portanto há potencial restrição em x.
  • A função exponencial e^{t} está presente.

Passo 2

O que é domínio?
O domínio é o conjunto de todos os pontos (x,y) em \mathbb{R}^2 para os quais a expressão de f(x,y) está bem definida (ou seja, não leva a operações proibidas como divisão por zero, raízes de índice par de número negativo sem definição real, etc.).
Aplicando isso a f(x,y)=y e^{\frac{1}{x}}:
  • A operação potencialmente problemática é \frac{1}{x}, que exige x\neq 0.
  • A função exponencial e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}, então não impõe restrição adicional.
Logo, a única restrição é x\neq 0.

Passo 3

Concluir o domínio a partir da restrição:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) com x\neq 0. Em notação:
\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}.
Explicação intuitiva: pode escolher qualquer y\in\mathbb{R} e qualquer x\in\mathbb{R} diferente de zero, e a expressão y e^{1/x} é bem definida.

Passo 4

O que é imagem (ou contradomínio efetivo)?
A imagem de f é o conjunto de todos os valores reais z que aparecem como z=f(x,y) para algum (x,y) no domínio.
Para mostrar qual é a imagem, é comum tentar, para um valor arbitrário t\in\mathbb{R}, encontrar (x,y) tal que f(x,y)=t. Se for possível para todo t\in\mathbb{R}, então a imagem é \mathbb{R}.

Passo 5

Analisar a forma da função e propriedades úteis:
  • Para qualquer x\neq 0 vale e^{\frac{1}{x}}>0. Ou seja, o fator exponencial é sempre um número real positivo.
  • Fixando qualquer x\neq 0, a função em y é linear: y\mapsto y\cdot c com c=e^{\frac{1}{x}}>0. Uma função linear y\mapsto c y com c\neq 0 é sobrejetora em \mathbb{R}: para qualquer alvo t\in\mathbb{R} existe y=t/c que dá cy=t.

Passo 6

Construir solução explícita para um t arbitrário:
Seja t\in\mathbb{R} qualquer. Escolha qualquer x_0\neq 0 (por exemplo x_0=1 é uma escolha simples). Então c=e^{\frac{1}{x_0}}>0. Tomando
y_0=\frac{t}{e^{\frac{1}{x_0}}},
temos (x_0,y_0) no domínio (porque x_0\neq 0) e
f(x_0,y_0)=y_0 e^{\frac{1}{x_0}}=\frac{t}{e^{\frac{1}{x_0}}}\,e^{\frac{1}{x_0}}=t.
Assim qualquer t\in\mathbb{R} é atingido por f.

Passo 7

Concluir a imagem:
Do passo anterior segue que a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, isto é
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}

Exercícios relacionados