Determine o domínio e a imagem de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função
dada por
Informações dadas:
- A fórmula da função é
. - As variáveis
e são números reais (estão em ), a menos que a expressão impeça algum valor.
Passo 2
O que é domínio (explicação didática)?
- Domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
em que a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). - Aqui a expressão envolve uma divisão por
. Divisão por zero é indefinida em . Portanto qualquer ponto com não pode estar no domínio.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao caso concreto:
- A única restrição vem de evitar divisão por zero, isto é, devemos exigir
. - Não há nenhuma outra operação que restrinja
(pode ser qualquer número real).
Passo 4
Escrever o domínio de forma matemática e intuitiva:
Outra forma equivalente de escrever é
Passo 5
O que é imagem (explicação didática)?
- Imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores
que a função realmente assume quando varia no domínio. - Para mostrar que a imagem é um certo conjunto, é suficiente, para cada valor candidato
nesse conjunto, apresentar um ponto no domínio tal que .
Passo 6
Mostrar que qualquer número real
é atingido por
:
- Dado um número real arbitrário
, escolha, por exemplo, (que é permitido porque ) e . - Então
pertence ao domínio e
- Assim, qualquer
é valor de . Logo a imagem contém todos os reais.
Passo 7
Concluir sobre a imagem:
- Já mostramos que para todo
existe com . Portanto a imagem de é exatamente .
Passo 8
Observações rápidas e úteis para prova (dica prática):
- Sempre verifique se há divisões por uma expressão que pode ser zero; isso gera exclusões no domínio.
- Para provar que a imagem é todo
é suficiente construir um preimagem simples (a escolha costuma ser a mais direta). - Exemplo extra: se a função fosse
, o domínio seria todo porque nunca é zero; a imagem seria ainda pois fixando obtém-se , atingindo todo .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: