Determine o domínio e a imagem de cada função abaixo:
f(x, y)=\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função f\colon\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} dada por
f(x,y)=\frac{x}{y}.
Informações dadas:
  • A fórmula da função é \dfrac{x}{y}.
  • As variáveis x e y são números reais (estão em \mathbb{R}), a menos que a expressão impeça algum valor.

Passo 2

O que é domínio (explicação didática)?
  • Domínio de uma função é o conjunto de todos os pares (x,y) em que a expressão que define a função faz sentido (está bem definida).
  • Aqui a expressão envolve uma divisão por y. Divisão por zero é indefinida em \mathbb{R}. Portanto qualquer ponto com y=0 não pode estar no domínio.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao caso concreto:
  • A única restrição vem de evitar divisão por zero, isto é, devemos exigir y\neq0.
  • Não há nenhuma outra operação que restrinja x (pode ser qualquer número real).

Passo 4

Escrever o domínio de forma matemática e intuitiva:
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq0\}.
Outra forma equivalente de escrever é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\times\big(\mathbb{R}\setminus\{0\}\big).

Passo 5

O que é imagem (explicação didática)?
  • Imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores z\in\mathbb{R} que a função realmente assume quando (x,y) varia no domínio.
  • Para mostrar que a imagem é um certo conjunto, é suficiente, para cada valor candidato z nesse conjunto, apresentar um ponto (x,y) no domínio tal que f(x,y)=z.

Passo 6

Mostrar que qualquer número real z é atingido por f:
  • Dado um número real arbitrário z\in\mathbb{R}, escolha, por exemplo, y=1 (que é permitido porque 1\neq0) e x=z.
  • Então (x,y)=(z,1) pertence ao domínio e
f(z,1)=\frac{z}{1}=z.
  • Assim, qualquer z\in\mathbb{R} é valor de f. Logo a imagem contém todos os reais.

Passo 7

Concluir sobre a imagem:
  • Já mostramos que para todo z\in\mathbb{R} existe (x,y) com f(x,y)=z. Portanto a imagem de f é exatamente \mathbb{R}.

Passo 8

Observações rápidas e úteis para prova (dica prática):
  • Sempre verifique se há divisões por uma expressão que pode ser zero; isso gera exclusões no domínio.
  • Para provar que a imagem é todo \mathbb{R} é suficiente construir um preimagem simples (a escolha y=1 costuma ser a mais direta).
  • Exemplo extra: se a função fosse g(x,y)=\dfrac{x}{y^2+1}, o domínio seria todo \mathbb{R}^2 porque y^2+1 nunca é zero; a imagem seria ainda \mathbb{R} pois fixando y=0 obtém-se g(x,0)=x, atingindo todo \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq0\}
Imagem: \mathbb{R}

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