Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é analisar a função $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $. Precisamos determinar o domínio e a imagem dessa função, identificar suas curvas de nível, ver como ela se interseca com os planos coordenados e finalmente esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem, curvas de nível e interseções com planos.
Passo 2
Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, $ x $ e $ y $) para os quais a função está definida. A função $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $ é um polinômio e polinômios estão definidos para todos os números reais.
Portanto, o domínio é:
Ou seja, todos os pares $ (x, y) $ reais.
Passo 3
Imagem da Função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores de saída possíveis da função $ f(x, y) $. Vamos analisar a expressão $ x^{2} - y^{2} $.
Como $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre não negativos, a diferença $ x^{2} - y^{2} $ pode ser qualquer número real, positivo, negativo ou zero, dependendo dos valores de $ x $ e $ y $.
Portanto, a imagem é:
Todos os números reais são possíveis valores de saída.
Passo 4
Curvas de Nível
As curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante. Para encontrar as curvas de nível, fixamos $ f(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante.
Então, temos:
Essa equação representa uma hipérbole para qualquer $ k \neq 0 $. Se $ k = 0 $, a equação se torna:
Que representa duas retas: $ y = x $ e $ y = -x $.
Resumindo:
- Para $ k > 0 $: Hipérboles que abrem nas direções $ x $.
- Para $ k < 0 $: Hipérboles que abrem nas direções $ y $.
- Para $ k = 0 $: As retas $ y = x $ e $ y = -x $.
Passo 5
Interseção com os Planos Coordenados
Vamos ver onde o gráfico da função cruza os planos coordenados $ xy $, $ xz $ e $ yz $.
-
Interseção com o Plano $ xy $:
Isto acontece quando $ z = 0 $. Então:
Que já vimos ser as retas $ y = x $ e $ y = -x $. -
Interseção com o Plano $ xz $:
Aqui, $ y = 0 $. Substituindo na função:
Isso é uma parábola que abre para cima no plano $ xz $. -
Interseção com o Plano $ yz $:
Aqui, $ x = 0 $. Substituindo:
Isso é uma parábola que abre para baixo no plano $ yz $.
Passo 6
Esboço do Gráfico
Com todas as informações acima, podemos esboçar o gráfico de $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $.
- No plano $ xy $: Desenhamos as retas $ y = x $ e $ y = -x $.
- No plano $ xz $: Parabolas abertas para cima.
- No plano $ yz $: Parabolas abertas para baixo.
- Curvas de nível: Hipérboles que variam conforme $ k $.
O gráfico será uma hiperbólica paraboloide, com suas partes se abrindo nas direções positivas e negativas de $ z $.
Resposta
O domínio de $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $ é todo o plano real $ \mathbb{R} \times \mathbb{R} $, a imagem é todos os números reais $ \mathbb{R} $. As curvas de nível são hipérboles para $ k \neq 0 $ e as retas $ y = x $ e $ y = -x $ para $ k = 0 $. As interseções com os planos coordenados são duas retas no plano $ xy $, uma parábola que abre para cima no plano $ xz $ e uma parábola que abre para baixo no plano $ yz $. O gráfico da função é uma hiperbólica paraboloide.