Calcule a integral indefinida.
integral arctan (4 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. Precisamos entender como selecionar qual parte da função será e qual será .

Passo 2

Primeiro, vamos definir as partes para aplicar a integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
  • (porque sua derivada é mais simples)
  • (a parte restante)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx arctan(4x) , dx = 41 + (4x)^2 , dx = 41 + 16x^2 , dx e v = integral dx = x :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arctan(4x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arctan(4x) , dx = x cdot arctan(4x) - integral x cdot 41 + 16x^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral restante:
integral 4x1 + 16x^2 , dx
Para isso, vamos fazer uma substituição simples. Seja:
w = 1 + 16x^2
Então, a derivada de dw = 32x , dx Rightarrow x , dx = dw32 é:
integral 4x1 + 16x^2 , dx = integral 4w cdot dw32 = 432 integral 1w , dw = 18 ln|w| + C = 18 ln(1 + 16x^2) + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral arctan(4x) , dx = x cdot arctan(4x) - 18 ln(1 + 16x^2) + C

Resposta

integral arctan(4x) , dx = x cdot arctan(4x) - 18 ln(1 + 16x^2) + C

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