(1.5 ponto) Obtenha a solução geral da EDO y^(4)+2 y^prime prime+y=c cdot e^2 x, sendo c uma constante não nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem:
y^(4) + 2 y'' + y = c cdot e^2x
Aqui, $ y^{(4)} $ é a quarta derivada de $ y $ em relação a $ x $, e $ c $ é uma constante que não é zero. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos dividir a resolução em duas partes: encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y^(4) + 2 y'' + y = 0
Para isso, a gente assume uma solução da forma $ y = e^{r x} $. Derivando isso, a gente substitui na equação e encontra o que chamamos de equação característica.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{r x} $, obtemos:
y = e^r x
Como $ e^{r x} $ nunca é zero, podemos dividir tudo por ele e ficamos com a equação característica:
r^4 e^r x + 2 r^2 e^r x + e^r x = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
r^4 + 2 r^2 + 1 = 0
Isso parece um trinomio quadrático em $ r^2 $. Vamos fazer uma substituição: seja $ z = r^2 $. Assim, a equação fica:
r^2
Isso é um trinômio quadrado perfeito, então:
z = r^2
Voltando para $ r $:
z^2 + 2 z + 1 = 0

Passo 5

Como as raízes são complexas, $ r = i $ e $ r = -i $, cada uma com multiplicidade 2 (já que $ z = -1 $ foi solução dupla). As soluções para a equação homogênea são então:
r = i
Aqui, $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y^(4) + 2 y'' + y = c cdot e^2x
Como o lado direito é $ c \cdot e^{2x} $, vamos tentar uma solução particular da forma:
c cdot e^2x
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Vamos substituir $ y_p = A e^{2x} $ na equação original:
yp = A e^2x
Calculando as derivadas:
yp^(4) + 2 yp'' + yp = c cdot e^2x
Substituindo na equação:
yp' = 2A e^2x yp'' = 4A e^2x yp''' = 8A e^2x yp^(4) = 16A e^2x
Simplificando:
16A e^2x + 2 cdot 4A e^2x + A e^2x = c cdot e^2x
Então:
16A + 8A + A = 25A = c

Passo 8

Assim, a solução particular é:
yp = c25 e^2x

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = (C1 + C2 x) cos(x) + (C3 + C4 x) sin(x) + c25 e^2x
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.

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