(1.5 ponto) Obtenha a solução geral da EDO
, sendo
uma constante não nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem:
Aqui, $ y^{(4)} $ é a quarta derivada de $ y $ em relação a $ x $, e $ c $ é uma constante que não é zero. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos dividir a resolução em duas partes: encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, a gente assume uma solução da forma $ y = e^{r x} $. Derivando isso, a gente substitui na equação e encontra o que chamamos de equação característica.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{r x} $, obtemos:
Como $ e^{r x} $ nunca é zero, podemos dividir tudo por ele e ficamos com a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Isso parece um trinomio quadrático em $ r^2 $. Vamos fazer uma substituição: seja $ z = r^2 $. Assim, a equação fica:
Isso é um trinômio quadrado perfeito, então:
Voltando para $ r $:
Passo 5
Como as raízes são complexas, $ r = i $ e $ r = -i $, cada uma com multiplicidade 2 (já que $ z = -1 $ foi solução dupla). As soluções para a equação homogênea são então:
Aqui, $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é $ c \cdot e^{2x} $, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Vamos substituir $ y_p = A e^{2x} $ na equação original:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.