QUESTÃO 3 (3 PONTOS):
Encontre os valores de x que satisfaz a desigualdade:
3<|3 x+5||2 x+1| <= 8

Passo 1

Na questão precisamos achar todos os valores de x que satisfazem 3<|3x+5||2x+1|<=8. O conteúdo envolve inequações racionais com valor absoluto. A estratégia é analisar os sinais de 2x+1 e de 3x+5, dividir o domínio em casos, resolver cada inequação correspondente e depois reunir as soluções.

Passo 2

Caso 1: x> -tfrac12. Nesse intervalo temos 2x+1>0 e, como x>-tfrac12>-tfrac53, também 3x+5>0. Logo
|3x+5||2x+1|=3x+52x+1

Passo 3

Resolvendo separadamente
3x+52x+1>3: 3x+5-3(2x+1)2x+1>0iff-3x+22x+1>0iff -3x-22x+1>0iff3x-22x+1<0,
cuja solução em x>-tfrac12 é
-tfrac12

Passo 4

E
3x+52x+1<=8: 3x+5-8(2x+1)2x+1<=0iff-13x-32x+1<=0, o que dá x>=-tfrac313 em x>-tfrac12. A interseção desses dois resultados é
-tfrac313<= x

Passo 5

Caso 2: x< -tfrac12. Agora |2x+1|=-(2x+1). Dividimos conforme o sinal de 3x+5:
• Para x< -tfrac53, ambas as expressões são negativas e não surge solução.
• Para -tfrac53<= x< -tfrac12, temos |3x+5|=3x+5 e
|3x+5||2x+1|=3x+5-(2x+1)

Passo 6

Resolvendo
3x+5-(2x+1)>3iff3x+5>3(-2x-1)iff x>-tfrac89, 3x+5-(2x+1)<=8iff3x+5<=8(-2x-1)iff x<=-tfrac1319

Passo 7

Em -tfrac53<= x< -tfrac12 isso dá
-tfrac89

Passo 8

Unindo ambos os casos, a solução final é
(-89,-1319]cup[-313,23)

Resposta

(-89,-1319]cup[-313,23)

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