Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=1-x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio e a imagem, as curvas de nível, a interseção com os planos coordenados e, por fim, esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 - x - y $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis, como determinar o domínio e a imagem, identificar curvas de nível e encontrar as interseções com os planos $ xy $, $ xz $ e $ yz $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. No caso da função $ f(x, y) = 1 - x - y $, não temos restrições como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o par de números reais.
Então, temos:
f(x, y) = 1 - x - y í
Ou seja, todos os valores de Domínio: R^2 e x são permitidos.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como $ f(x, y) = 1 - x - y $ é uma função linear, ela pode assumir qualquer valor real dependendo dos valores de f(x, y) = 1 - x - y e x.
Portanto:
y
A função pode gerar qualquer número real.

Passo 4

Vamos às curvas de nível. As curvas de nível são linhas no plano xy onde a função assume um valor constante. Para encontrar essas curvas, fixamos $ f(x, y) = c $, onde f(x, y) = c é uma constante, e resolvemos para c.
A equação fica:
y
1 - x - y = c
Então, cada curva de nível é uma reta com inclinação y = -x + (1 - c) e intercepto -1. Isso significa que todas as curvas de nível são paralelas entre si.

Passo 5

Vamos encontrar a interseção com os planos coordenados:
  1. Interseção com o plano xy: Aqui, z = 0, então:
0 = 1 - x - y
y = -x + 1
Esta é a mesma curva de nível quando c = 0.
  1. Interseção com o plano xz: Aqui, y = 0, então:
z = 1 - x
x = 1 - z
Esta é uma reta no plano xz.
  1. Interseção com o plano yz: Aqui, x = 0, então:
z = 1 - y
y = 1 - z
Também uma reta, agora no plano yz.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 - x - y $. Essa função representa um plano no espaço tridimensional. Sabemos que todas as curvas de nível são retas paralelas e que as interseções com os planos coordenados também são retas. O gráfico será uma superfície plana inclinada, interceptando o eixo f(x, y) = 1 - x - y no ponto z e descendo de forma linear nos outros eixos.

Resposta

  • Domínio: Todos os pares (x, y) de números reais, ou seja, $ \mathbb{R}^2 $.
  • Imagem: Todos os números reais, $ \mathbb{R} $.
  • Curvas de nível: Retas da forma $ y = -x + (1 - c) $, paralelas entre si.
  • Interseção com os planos coordenados:
    • Plano R^2 : $ y = -x + 1 $
    • Plano R : $ x = 1 - z $
    • Plano y = -x + (1 - c) : $ y = 1 - z $
  • Gráfico: Um plano inclinado no espaço tridimensional, interceptando o eixo xy no ponto y = -x + 1 e descendo linearmente nos demais eixos.

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