Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio e a imagem, as curvas de nível, a interseção com os planos coordenados e, por fim, esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 - x - y $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis, como determinar o domínio e a imagem, identificar curvas de nível e encontrar as interseções com os planos $ xy $, $ xz $ e $ yz $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso da função $ f(x, y) = 1 - x - y $, não temos restrições como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o par de números reais.
Então, temos:
Ou seja, todos os valores de
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como $ f(x, y) = 1 - x - y $ é uma função linear, ela pode assumir qualquer valor real dependendo dos valores de
e
.
Portanto:
A função pode gerar qualquer número real.
Passo 4
Vamos às curvas de nível. As curvas de nível são linhas no plano
onde a função assume um valor constante. Para encontrar essas curvas, fixamos $ f(x, y) = c $, onde
é uma constante, e resolvemos para
.
A equação fica:
Então, cada curva de nível é uma reta com inclinação
e intercepto
. Isso significa que todas as curvas de nível são paralelas entre si.
Passo 5
Vamos encontrar a interseção com os planos coordenados:
- Interseção com o plano
: Aqui, , então:
Esta é a mesma curva de nível quando
- Interseção com o plano
: Aqui, , então:
Esta é uma reta no plano
- Interseção com o plano
: Aqui, , então:
Também uma reta, agora no plano
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 - x - y $. Essa função representa um plano no espaço tridimensional. Sabemos que todas as curvas de nível são retas paralelas e que as interseções com os planos coordenados também são retas. O gráfico será uma superfície plana inclinada, interceptando o eixo
no ponto
e descendo de forma linear nos outros eixos.
Resposta
-
Domínio: Todos os pares
de números reais, ou seja, $ \mathbb{R}^2 $. -
Imagem: Todos os números reais, $ \mathbb{R} $.
-
Curvas de nível: Retas da forma $ y = -x + (1 - c) $, paralelas entre si.
-
Interseção com os planos coordenados:
- Plano
: $ y = -x + 1 $ - Plano
: $ x = 1 - z $ - Plano
: $ y = 1 - z $
- Plano
-
Gráfico: Um plano inclinado no espaço tridimensional, interceptando o eixo
no ponto e descendo linearmente nos demais eixos.