Onde as seguintes funções são contínuas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função $ h(x) = \sin(x^{2}) $ é contínua. Isso envolve o estudo da continuidade de funções, que basicamente nos diz onde a função não tem “quebras” ou “saltos”. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades das funções seno e polinomiais, já que $ x^{2} $ é um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que funções polinomiais como $ x^{2} $ são contínuas em todo o seu domínio. O domínio de $ x^{2} $ são todos os números reais ($ \mathbb{R} $), então não tem nenhum ponto onde a função “pula” ou “se quebra”.
Passo 3
Agora, a função seno, $ \sin(x) $, também é contínua em todo o seu domínio, que também é $ \mathbb{R} $. Isso significa que para qualquer valor de $ x $, a função seno não tem interrupções.
Passo 4
Quando a gente compõe duas funções contínuas, a função resultante também é contínua. Isso é uma propriedade importante na análise de funções. No nosso caso, estamos compondo $ \sin $ com $ x^{2} $, ou seja, $ \sin(x^{2}) $.
Passo 5
Como vimos, tanto $ x^{2} $ quanto $ \sin(x) $ são contínuas em todos os números reais. Portanto, a composição $ h(x) = \sin(x^{2}) $ também será contínua em todos os $ x $ reais.
Resposta
A função $ h(x) = \sin(x^{2}) $ é contínua para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para todo $ x \in \mathbb{R} $.