Onde as seguintes funções são contínuas?
h(x)=sin (x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função $ h(x) = \sin(x^{2}) $ é contínua. Isso envolve o estudo da continuidade de funções, que basicamente nos diz onde a função não tem “quebras” ou “saltos”. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades das funções seno e polinomiais, já que $ x^{2} $ é um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que funções polinomiais como $ x^{2} $ são contínuas em todo o seu domínio. O domínio de $ x^{2} $ são todos os números reais ($ \mathbb{R} $), então não tem nenhum ponto onde a função “pula” ou “se quebra”.

Passo 3

Agora, a função seno, $ \sin(x) $, também é contínua em todo o seu domínio, que também é $ \mathbb{R} $. Isso significa que para qualquer valor de $ x $, a função seno não tem interrupções.

Passo 4

Quando a gente compõe duas funções contínuas, a função resultante também é contínua. Isso é uma propriedade importante na análise de funções. No nosso caso, estamos compondo $ \sin $ com $ x^{2} $, ou seja, $ \sin(x^{2}) $.

Passo 5

Como vimos, tanto $ x^{2} $ quanto $ \sin(x) $ são contínuas em todos os números reais. Portanto, a composição $ h(x) = \sin(x^{2}) $ também será contínua em todos os $ x $ reais.

Resposta

A função $ h(x) = \sin(x^{2}) $ é contínua para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para todo $ x \in \mathbb{R} $.

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