Calcule detalhadamente os seguintes limites:
, onde
é um número real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os limites de
quando
tende ao infinito positivo e negativo. Isso envolve conceitos de limites e exponenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam quando a variável cresce muito positiva ou muito negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o limite quando
tende ao infinito positivo, ou seja,
. Temos:
Quando
fica muito grande,
fica bem pequeno, então podemos usar a propriedade de que:
Nesse caso,
, então aplicando essa propriedade, o limite será
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o limite quando
tende ao infinito negativo, ou seja,
. A expressão fica:
Aqui,
é um número muito grande e negativo, então
ainda tende a zero, mas vem de valores negativos se
for positivo, ou positivos se
for negativo. Porém, assim como no caso positivo, podemos reescrever a expressão para facilitar:
Substituindo
por
, onde
, temos:
Aplicando a mesma propriedade mencionada anteriormente:
Então, mesmo quando
tende a
, o limite também é
.
Resposta
Ambos os limites são iguais a
.