Calcule detalhadamente os seguintes limites:
lim x pm infty(1+bx)^x, onde b é um número real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os limites de (1+bx)^x quando x tende ao infinito positivo e negativo. Isso envolve conceitos de limites e exponenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam quando a variável cresce muito positiva ou muito negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o limite quando x tende ao infinito positivo, ou seja, x +infty. Temos:
limx +infty (1 + bx)^x
Quando x fica muito grande, bx fica bem pequeno, então podemos usar a propriedade de que:
limn infty (1 + kn)^n = e^k
Nesse caso, k = b, então aplicando essa propriedade, o limite será e^b.

Passo 3

Agora, vamos considerar o limite quando x tende ao infinito negativo, ou seja, x -infty. A expressão fica:
limx -infty (1 + bx)^x
Aqui, x é um número muito grande e negativo, então bx ainda tende a zero, mas vem de valores negativos se b for positivo, ou positivos se b for negativo. Porém, assim como no caso positivo, podemos reescrever a expressão para facilitar:
Substituindo x por -y, onde y +infty, temos:
(1 + b-y)^-y = (1 - by)^-y
Aplicando a mesma propriedade mencionada anteriormente:
limy +infty (1 - by)^-y = e^b
Então, mesmo quando x tende a -infty, o limite também é e^b.

Resposta

Ambos os limites são iguais a e^b.
limx pm infty (1 + bx)^x = e^b

Exercícios relacionados