Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=4-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos a função $ f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 $ e a gente precisa descobrir o domínio, a imagem, as curvas de nível, onde a função corta os planos coordenados e, claro, fazer um esboço do gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, entender o que cada parte da função representa e como ela se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida. Na nossa função $ f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 $, não tem nenhum denominador, raiz quadrada ou logaritmo que possa restringir os valores de $ x $ e $ y $. Então, o domínio é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $, ou seja, todos os pares de números reais $ (x, y) $.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Olhando para $ f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 $, percebemos que $ x^2 $ e $ y^2 $ são sempre positivos ou zero. Isso significa que $ 4 - x^2 - y^2 $ será sempre menor ou igual a 4. Então, a imagem da função é todos os números reais $ z $ tais que $ z \leq 4 $.

Passo 4

Vamos passar para as curvas de nível. Essas são as curvas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo de $ c $, temos $ 4 - x^2 - y^2 = c $. Isso se rearranja para $ x^2 + y^2 = 4 - c $. Essa é a equação de um círculo com raio $ \sqrt{4 - c} $ e centro na origem. Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos com centro em $ (0,0) $ e raio variando conforme $ c $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a interseção com os planos coordenados.
  • Interseção com o plano $ xy $ (quando $ z = 0 $):
    $ 4 - x^2 - y^2 = 0 $ xy $ x^2 + y^2 = 4 $. Esse é um círculo de raio 2 no plano $ xy $.
  • Interseção com o plano $ xz $ (quando $ y = 0 $):
    $ f(x, 0) = 4 - x^2 $. Isso é uma parábola que abre para baixo com vértice em $ (0, 4) $.
  • Interseção com o plano $ yz $ (quando $ x = 0 $):
    $ f(0, y) = 4 - y^2 $. Semelhante à interseção com o plano $ xz $, é uma parábola que abre para baixo com vértice em $ (0, 4) $.

Passo 6

Agora vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 $. Sabemos que a função representa uma superfície paraboloide que abre para baixo. O ponto mais alto dessa superfície é o vértice em $ (0,0,4) $. À medida que $ x $ e $ y $ aumentam, o valor de $ f(x, y) $ diminui, formando círculos menores conforme nos afastamos do centro. A interseção com o plano $ xy $ é um círculo de raio 2, e as interseções com os planos $ xz $ e $ yz $ são parábolas.

Resposta

A função $ f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 $ tem domínio em todo $ \mathbb{R}^2 $, imagem em $ z \leq 4 $, curvas de nível são círculos concêntricos com centro na origem, interseções com os planos coordenados são um círculo no plano $ xy $ e parábolas nos planos $ xz $ e $ yz $. O gráfico é uma paraboloide que abre para baixo com vértice em $ (0,0,4) $.

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