Onde as seguintes funções são contínuas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar onde a função $ K(x) = \ln(1 + \cos x) $ é contínua. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções, que basicamente nos diz onde uma função não tem “quebras” ou “saltos”. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre a continuidade da função cosseno e das propriedades do logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a função cosseno, $ \cos x $, é contínua em todos os números reais. Isso significa que, para qualquer valor de $ x $, não há interrupções na função $ \cos x $.
Passo 3
Agora, olhemos para $ 1 + \cos x $. Como a soma de funções contínuas também é contínua, a função $ 1 + \cos x $ também é contínua em todos os números reais.
Passo 4
O próximo passo é considerar o logaritmo natural, $ \ln(y) $. Essa função só está definida para valores de $ y $ maiores que zero, ou seja, $ y > 0 $. Portanto, para que $ \ln(1 + \cos x) $ seja contínua, precisamos que $ 1 + \cos x > 0 $.
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade $ 1 + \cos x > 0 $:
Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo $ x $ está sempre entre -1 e 1, ou seja, $ -1 \leq \cos x \leq 1 $. Portanto, $ \cos x > -1 $ é sempre verdadeiro, exceto quando $ \cos x = -1 $.
Passo 6
A igualdade $ \cos x = -1 $ acontece nos valores de $ x $ onde $ x = (2k + 1)\pi $, sendo $ k $ um número inteiro. Nesses pontos, $ 1 + \cos x = 0 $, e como mencionamos antes, o logaritmo natural não está definido para zero.
Resposta
Então, a função $ K(x) = \ln(1 + \cos x) $ é contínua para todos os números reais, exceto nos pontos onde $ x = (2k + 1)\pi $, onde $ k $ é qualquer número inteiro. Nessas pontos específicos, a função não está definida.