Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função, as curvas de nível, a interseção com os planos coordenados e também esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, ou seja, funções que dependem de $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio, imagem, curvas de nível, interseções com planos coordenados e como representar graficamente a função no espaço.

Passo 2

Dominio e Imagem:
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida.
A função é $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. A raiz quadrada está definida para números não negativos, ou seja, $ x^{2} + y^{2} \geq 0 $.
Como $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre positivos ou zero, a soma $ x^{2} + y^{2} $ também será sempre não negativa. Portanto, a função está definida para todos os números reais de $ x $ e $ y $.
Dominio: Todos os pares $ (x, y) $ onde $ x $ e $ y $ são reais, ou seja, $ \mathbb{R}^{2} $.
Agora, a imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores de $ f(x, y) $.
Já que $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ representa a distância do ponto $ (x, y) $ até a origem, essa distância é sempre um número real não negativo.
Imagem: Todos os números reais $ z $ tais que $ z \geq 0 $.

Passo 3

Curvas de Nível:
As curvas de nível são conjuntos de pontos $ (x, y) $ que têm o mesmo valor de $ f(x, y) $. Ou seja, fixamos um valor $ k $ e resolvemos $ f(x, y) = k $.
Então, temos:
(x, y)
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
f(x, y)
Essa é a equação de um círculo com raio $ k $ e centro na origem $ (0, 0) $.
Portanto, cada curva de nível é um círculo com raio igual a $ k $.
Curvas de Nível: Círculos de raio $ k $ centrados na origem.

Passo 4

Interseção com os Planos Coordenados:
Vamos encontrar onde a superfície $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ intersecta os planos coordenados $ xy $, $ xz $ e $ yz $.
  1. Interseção com o Plano $ xy $:
    No plano $ xy $, temos $ z = 0 $. Então:
    z = raizx^2 + y^2
    Elevando ao quadrado:
    xy
    A única solução é $ x = 0 $ e $ y = 0 $.
    Interseção com $ xy $: Apenas o ponto $ (0, 0, 0) $.
  2. Interseção com o Plano $ xz $:
    No plano $ xz $, temos $ y = 0 $. Então:
    xz
    Isso representa duas linhas: $ z = x $ para $ x \geq 0 $ e $ z = -x $ para $ x \leq 0 $.
    Interseção com $ xz $: As retas $ z = |x| $.
  3. Interseção com o Plano $ yz $:
    No plano $ yz $, temos $ x = 0 $. Então:
    yz
    Similarmente, isso representa duas linhas: $ z = y $ para $ y \geq 0 $ e $ z = -y $ para $ y \leq 0 $.
    Interseção com $ yz $: As retas $ z = |y| $.

Passo 5

Esboço do Gráfico:
Vamos imaginar o gráfico da função $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
  • Como vimos, para cada valor de $ z = k $, temos um círculo no plano $ xy $ com raio $ k $.
  • Isso significa que, conforme $ z $ aumenta, os círculos vão aumentando de tamanho, criando uma superfície conhecida como “cone circular”.
Portanto, o gráfico dessa função é um cone que se abre para cima, com sua ponta na origem $ (0, 0, 0) $.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ é todo o conjunto $ \mathbb{R}^{2} $. A imagem é composta por todos os números reais não negativos, ou seja, $ z \geq 0 $.
As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio $ k $, onde $ k $ é o valor fixado de $ f(x, y) $.
A interseção da função com o plano $ xy $ é apenas o ponto $ (0, 0, 0) $. Com o plano $ xz $, são as retas $ z = |x| $, e com o plano $ yz $, são as retas $ z = |y| $.
O gráfico da função é um cone circular que se abre para cima, com sua ponta na origem.

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