Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a função f(x,y)=1/(x²+y²): o domínio, a imagem, as curvas de nível e as interseções com os planos coordenados, além de um esboço do gráfico. Para isso a gente vai usar conceitos de domínio de funções racionais, análise de limites para a imagem, definir nível f=k e cortar a superfície por planos.

Passo 2

Primeiro vamos achar o domínio. Como f(x,y)=1/(x²+y²) não pode ter denominador zero, exigimos x²+y²≠0. Isso exclui apenas o ponto (0,0). Logo o domínio é
D=(x,y)in R^2:,(x,y)neq(0,0)

Passo 3

Agora a imagem (o conjunto de valores que f assume). Note que para todo (x,y)≠(0,0) temos x²+y²>0, então f(x,y)>0. Quando (x,y)→(0,0) o denominador→0+ e f→+∞, e quando ‖(x,y)‖→∞ o denominador→∞ e f→0+. Portanto f varia em todos os valores positivos, ou seja
Im(f)=(0,infty)

Passo 4

Para as curvas de nível fixamos f(x,y)=k com k>0. Isso dá
1x^2+y^2=k,Longrightarrow,x^2+y^2=1k
Ou seja, cada curva de nível é um círculo de raio raiz1/k centrado na origem.

Passo 5

Nas interseções com os planos coordenados fazemos recortes:
  • Plano x=0: f(0,y)=1/y², curva no plano (y,z) dada por z=1/y².
  • Plano y=0: f(x,0)=1/x², curva no plano (x,z) dada por z=1/x².
  • Plano z=0: não há solução porque f(x,y)>0 nunca chega a z=0.

Passo 6

O esboço do gráfico é uma superfície de revolução em torno do eixo z, parecida com um funil. Ela dispara para +∞ perto do eixo (x,y)=(0,0) e se aproxima assintoticamente do plano z=0 quando nos afastamos da origem.

Resposta

Domínio: (x,y)in R^2:,(x,y)neq(0,0).
Imagem: (0,infty).
Curvas de nível: círculos x^2+y^2=1/k, k>0.
Interseções: com x=0: z=1/y^2; com y=0: z=1/x^2; com z=0: nenhuma.
Gráfico: funil simétrico em z>0, singular na origem e assíntota z=0.

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