Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio e a imagem da função, desenhar as curvas de nível, ver como ela intercepta os planos coordenados e, por fim, esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + 4y^{2} $. Vamos usar conceitos de álgebra e geometria para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = 1 + x^{2} + 4y^{2} $, vemos que não tem nenhuma restrição como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo. Como $ x^{2} $ e $ y^{2} $ sempre dão valores reais, o domínio é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que $ f(x, y) $ pode assumir. Observa que $ x^{2} $ e $ 4y^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero. Então, $ f(x, y) = 1 + x^{2} + 4y^{2} \geq 1 $. Assim, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a 1, ou seja, $ [1, +\infty) $.
Passo 4
Vamos desenhar as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante, digamos $ k $. Então, temos:
Podemos rearranjar isso para:
Essa equação representa elipses centradas na origem quando $ k > 1 $. Cada valor de $ k $ vai dar uma elipse diferente, aumentando o tamanho conforme $ k $ aumenta.
Passo 5
Vamos ver as interseções com os planos coordenados:
- Plano $ xy $: Já vimos as curvas de nível.
- Plano $ xz $: Aqui, $ y = 0 $. Então, $ f(x, 0) = 1 + x^{2} $. Isso é uma parábola que abre para cima no plano $ xz $.
- Plano $ yz $: Aqui, $ x = 0 $. Então, $ f(0, y) = 1 + 4y^{2} $. Essa também é uma parábola que abre para cima, mas mais “estreita” devido ao coeficiente 4.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + 4y^{2} $. Esse gráfico é uma superfície chamada paraboloide elíptico, que é uma espécie de “fôrma” aberta para cima. A base da fôrma é uma elipse, como vimos nas curvas de nível, e a altura aumenta conforme nos afastamos da origem nos eixos $ x $ e $ y $.
Resposta
- Domínio: Todos os pares $ (x, y) $ reais, ou seja, $ \mathbb{R}^2 $.
- Imagem: Todos os números reais maiores ou iguais a 1, $ [1, +\infty) $.
- Curvas de nível: Elipses da forma $ x^{2} + 4y^{2} = k - 1 $, para $ k > 1 $.
- Interseção com os planos coordenados:
- Plano $ xz $: $ f(x, 0) = 1 + x^{2} $
- Plano $ yz $: $ f(0, y) = 1 + 4y^{2} $
- Gráfico: Um paraboloide elíptico aberto para cima, com base elíptica e aumentando de altura à medida que $ x $ e $ y $ se afastam da origem.