Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor do seguinte limite:
lim x 0^- 1-Cos(x)Sen^2(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 0 pela esquerda de 1-cos(x)sin^2(x). Esse é um caso de indeterminação 0/0 envolvendo funções trigonométricas, então vamos usar identidades trig e limites conhecidos para resolver.

Passo 2

Nós sabemos a identidade 1-cos(x)=2sin^2l(tfracx2r) e que sin(x)=2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r). Substituindo no numerador e denominador, temos:
1-cos(x)sin^2(x)=2sin^2l(tfracx2r)l(2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r)r)^2
Agora simplificamos cancelando sin^2(tfracx2):
2sin^2(tfracx2)4sin^2(tfracx2)cos^2(tfracx2)=12cos^2l(tfracx2r)

Passo 3

Por fim, quando xto0^- temos cosl(tfracx2r)to1. Portanto, o limite vale 1/(2cdot1^2)=tfrac12.

Resposta

tfrac12

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