Para |x|\leq 2 (isto é, para -2\leq x\leq 2) a função vale -1.
Para x>2 a função vale 3.
Os intervalos cobrindo os x são (-\infty,-2), [-2,2] e (2,\infty).]
Passo 2
O que é domínio e como verificar aqui.
Definição rápida: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para funções por partes, o domínio é a união dos subconjuntos de x que aparecem em cada parte.
Aqui as partes cobrem exatamente estes subconjuntos:
(-\infty,-2),\qquad [-2,2],\qquad (2,\infty).
A união desses conjuntos é
(-\infty,-2)\cup[-2,2]\cup(2,\infty).
Quando se junta (-\infty,-2) com [-2,2] obtém-se (-\infty,2]. Juntando isso com (2,\infty) obtém-se todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}. Logo o domínio é \mathbb{R}.
Explicação prática: para qualquer real x existe exatamente uma das três regras que se aplica, então a função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 3
Determinação explícita do domínio com justificativa passo a passo.
Se x<-2 a definição dá r(x)=-4 — cobre todos os x menores que -2.
Se -2\leq x\leq 2 (pois |x|\leq 2 equivale a isto) a definição dá r(x)=-1 — cobre o intervalo fechado [-2,2].
Se x>2 a definição dá r(x)=3 — cobre todos os x maiores que 2.
Como não há x fora da união desses três conjuntos, concluímos:
\text{domínio}(r)=\mathbb{R}.í
Passo 4
O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e como determinar aqui.
Definição rápida: a imagem (ou conjunto imagem) de r é o conjunto de todos os valores y que realmente ocorrem como r(x) para algum x do domínio. Symbolicamente,
\text{imagem}(r)=\{\,y\in\mathbb{R}\mid \exists x\in\mathbb{R}\text{ tal que }r(x)=y\,\}.
No nosso caso cada ramo dá um único valor constante:
O ramo x<-2 produz o valor -4.
O ramo -2\leq x\leq 2 produz o valor -1.
O ramo x>2 produz o valor 3.
Esses três valores são atingidos: por exemplo r(-3)=-4, r(0)=-1, r(4)=3. Portanto a imagem é o conjunto finito
\{-4,\,-1,\,3\}.
Passo 5
Como esboçar o gráfico (instrução passo a passo, bem prática para a prova).
Prepare os eixos x e y. Marque os pontos x=-2 e x=2 no eixo x e as alturas y=-4, y=-1 e y=3 no eixo y.
Região x<-2: desenhe uma linha horizontal na altura y=-4 para todo x à esquerda de -2. No ponto x=-2 coloque um círculo aberto em (-2,-4) porque a regra x<-2 não inclui x=-2.
Região -2\leq x\leq 2: desenhe uma linha horizontal na altura y=-1 entre x=-2 e x=2, e coloque pontos preenchidos (bolinhas sólidas) em (-2,-1) e em (2,-1) porque os extremos estão incluídos (intervalo fechado).
Região x>2: desenhe uma linha horizontal na altura y=3 para todo x à direita de 2. No ponto x=2 coloque um círculo aberto em (2,3) porque a regra x>2 não inclui x=2.
Observações sobre continuidade: em x=-2 e x=2 há saltos (jump discontinuities). Em x=-2 a função tem os valores laterais \lim_{x\to -2^-}r(x)=-4 e \lim_{x\to -2^+}r(x)=-1 e r(-2)=-1. Em x=2 os limites laterais são \lim_{x\to 2^-}r(x)=-1 e \lim_{x\to 2^+}r(x)=3; e r(2)=-1.
Dica prática para desenhar rápido na prova: trace três horizontais (uma à esquerda, uma no centro, uma à direita), marque os círculos abertos/fechados nos pontos (-2,\cdot) e (2,\cdot) conforme indicado, e rotule as alturas com -4,-1,3.
Passo 6
Resumo visual em palavras curtas para checar: à esquerda de -2 a linha é em y=-4 (círculo aberto em -2), entre -2 e 2 a linha é em y=-1 (pontos fechados nas bordas), e à direita de 2 a linha é em y=3 (círculo aberto em 2).
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \{-4,\,-1,\,3\}
Gráfico: segmentos horizontais em y=-4 para x< -2 (círculo aberto em (-2,-4)), em y=-1 para -2\le x\le 2 (pontos fechados em (-2,-1) e (2,-1)), e em y=3 para x>2 (círculo aberto em (2,3)).