Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: h(z)=\left\{\begin{aligned}-z, & \text { se } z<0 \\\ z^{2}, & \text { se } 0 \leq z \leq 1 \\\\ 1, & \text { se } z>1\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função por partes
Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por h).
Esboçar o gráfico de h.
Informações relevantes dadas no enunciado:
A função está definida por três regras, cada uma válida em um intervalo diferente de z: z<0, 0\le z\le1 e z>1.
Cada ramo é uma função simples: uma reta -z, uma parábola z^2 restrita ao intervalo [0,1] e a função constante 1.]
Passo 2
O que é domínio e como determiná-lo (mini-aula rápida):
Domínio é o conjunto de todos os números z para os quais a função está definida.
Para funções por partes, o domínio é a união dos intervalos onde cada peça está definida.
No enunciado as peças cobrem exatamente os três conjuntos: \{z\mid z<0\}, \{z\mid 0\le z\le1\} e \{z\mid z>1\}. A união desses três é todo o conjunto dos números reais. Portanto o domínio é \mathbb{R}.
Passo 3
Analisando o primeiro ramo (z<0): h(z)=-z.
Mini-aula: Para achar a imagem de um ramo, é útil resolver y=-z em função de y e ver quais y são possíveis quando z percorre o intervalo dado.
Resolver y=-z dá z=-y. A condição z<0 passa para -y<0, ou seja y>0.
Limites e comportamento: quando z\to 0^{-}, temos h(z)=-z\to 0^{+}. Quando z\to -\infty, h(z)\to +\infty.
Conclusão: a imagem do primeiro ramo é o intervalo aberto (0,\infty). Ou seja, esse ramo produz todos os valores positivos (maiores que zero).
Passo 4
Analisando o segundo ramo (0\le z\le 1): h(z)=z^{2}.
Mini-aula sobre z^2 em [0,1]: a função z\mapsto z^{2} é contínua e monótona crescente em [0,1] (porque para z\ge0 a função cresce).
Os extremos no intervalo são atingidos nas extremidades: em z=0 tem z^{2}=0; em z=1 tem z^{2}=1.
Conclusão: a imagem desse ramo é o intervalo fechado [0,1].
Passo 5
Analisando o terceiro ramo (z>1): h(z)=1.
Mini-aula: uma função constante h(z)=c só assume o valor c. Aqui para todo z>1, h(z)=1.
Conclusão: a imagem desse ramo é o conjunto singleton \{1\}.
Passo 6
Unindo as imagens dos três ramos para obter a imagem total de h.
Temos as imagens: primeiro ramo (0,\infty), segundo ramo [0,1], terceiro ramo \{1\}.
Fazer a união:
(0,\infty)\\ \cup\\ [0,1]\\ \cup\\ \{1\}.
Observação prática: (0,\infty) já contém todos os números maiores que 0, inclusive os que estão em (0,1]. O segundo ramo adiciona o ponto 0. O terceiro ramo só repete o valor 1 que já está em (0,\infty) e em [0,1].
Portanto a união é [0,\infty).
Conclusão: a imagem de h é o intervalo [0,\infty).
Passo 7
Verificação de continuidade nos pontos de junção (z=0 e z=1) — importante para o esboço.
Em z=0:
Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{z\to0^-}h(z)=\lim_{z\to0^-}(-z)=0^{+}.
Valor em 0: h(0)=0^{2}=0.
Limite pela direita: \displaystyle\lim_{z\to0^+}h(z)=\lim_{z\to0^+}z^{2}=0.
Como todos dão 0, a função é contínua em z=0.
Em z=1:
Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{z\to1^-}h(z)=\lim_{z\to1^-}z^{2}=1.
Valor em 1: h(1)=1^{2}=1.
Limite pela direita: \displaystyle\lim_{z\to1^+}h(z)=\lim_{z\to1^+}1=1.
Todos dão 1, logo a função é contínua em z=1.
Conclusão: h é contínua em todos os pontos (não há saltos).
Passo 8
Como esboçar o gráfico — instruções passo a passo (sem usar calculadora).
Desenhe eixos z (eixo horizontal) e y (eixo vertical).
Ramo para z<0: desenhe a reta y=-z apenas para z<0 (isto é, o ramo que passa por pontos como (-2,2), (-1,1)) e que vai subindo ao mover-se para a esquerda. Indique que ela tende ao infinito quando z\to -\infty. No ponto (0,0) esse ramo não inclui z=0 (é definido só para z<0), então idealmente desenha-se um pequeno círculo aberto em (0,0) para esse ramo.
Ramo para 0\le z\le1: desenhe o arco da parábola y=z^{2} entre z=0 e z=1. Pontos úteis para marcar: (0,0), (0{,}5,0{,}25), (1,1). Como z=0 e z=1 pertencem a este intervalo, coloque pontos fechados em (0,0) e (1,1).
Ramo para z>1: desenhe a reta horizontal y=1 para z>1 (por exemplo passe por (2,1), (3,1), etc.). Em z=1 esse ramo não inclui o ponto, mas o ponto (1,1) já está preenchido pelo ramo z^{2}, então no desenho final haverá um ponto fechado em (1,1).
Verifique visualmente: o gráfico é contínuo; à esquerda é a reta decrescente y=-z para z<0, depois a parábola crescente de 0 a 1, e depois o segmento horizontal em y=1 para z>1.
Dica prática: marque e ligue os pontos (-2,2), (-1,1), (0,0), (0{,}5,0{,}25), (1,1), (2,1); isso já dá um esboço preciso.
Passo 9
Resumo conceitual rápido para a prova (o que você precisa lembrar):
Domínio da função por partes = união dos intervalos de definição.
Imagem = união das imagens de cada ramo; às vezes um ramo com domínio não limitado pode cobrir uma grande parte da imagem (aqui (0,\infty) vem do ramo z<0).
Para o esboço: calcule alguns pontos estratégicos e verifique continuidade nos pontos de mudança de regra (z=0 e z=1).
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Esboço do gráfico: para z<0 reta y=-z (p.ex. (-2,2),(-1,1)); para 0\le z\le1 arco da parábola y=z^{2} entre (0,0) e (1,1); para z>1 reta horizontal y=1 (p.ex. (2,1)).