Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
r(x)= \begin{cases}x+3, & \text { se } x<-1 \\\\ -2 x, & \text { se }|x| \leq 1 \\\\ -2, & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
r(x)= \begin{cases} x+3, & \text{se } x<-1,\\[4pt] -2x, & \text{se } |x|\le 1,\\[4pt] -2, & \text{se } x>1, \end{cases}
e pede três coisas:
  • Determinar o domínio de r.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de r.
  • Esboçar o gráfico de r.
Informações que temos (extraídas do enunciado):
  • Primeiro ramo: função afim \,x+3 válida para x<-1.
  • Segundo ramo: função afim -2x válida para |x|\le 1, isto é, para -1\le x\le 1.
  • Terceiro ramo: função constante -2 válida para x>1.]

Passo 2

Encontrar o domínio. O domínio de uma função definida por partes é a união dos intervalos onde cada ramo está definido. Aqui os intervalos são:
(-\infty,-1),\quad [-1,1],\quad (1,\infty).
Esses três intervalos cobrem todos os reais (note que o ponto -1 está no segundo intervalo e o ponto 1 também). Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(r)=\mathbb{R}.

Passo 3

Imagem do primeiro ramo ( x<-1, r(x)=x+3). É uma reta de inclinação 1. Para saber os valores possíveis:
  • Quando x\to -\infty tem-se x+3\to -\infty.
  • Quando x se aproxima de -1 pela esquerda, x+3\to -1+3=2, mas como x=-1 não pertence a esse ramo, o valor 2 não é alcançado por este ramo; ele é apenas um limite à esquerda.
    Logo a imagem deste ramo é o intervalo aberto
(-\infty,2).
(Explicação didática curta: uma função linear x+3 cresce sem limite para +\infty quando x\to+\infty e decresce sem limite quando x\to-\infty; aqui só usamos a porção x<-1, que gera todos os valores menores que 2.)

Passo 4

Imagem do segundo ramo ( -1\le x\le 1, r(x)=-2x). Essa é uma função linear em um intervalo fechado. Vamos avaliar nas extremidades e usar monotonicidade:
  • Em x=-1: r(-1)=-2(-1)=2.
  • Em x=1: r(1)=-2(1)=-2.
    A função x\mapsto -2x é estritamente decrescente (coeficiente -2<0), então ao percorrer x de -1 até 1 a imagem vai de 2 até -2 cobrindo todos os valores entre eles. Como o intervalo em x é fechado, os extremos são atingidos. Logo a imagem deste ramo é o intervalo fechado
[-2,2].
(Resumo didático: para uma função linear em um intervalo fechado, a imagem é o intervalo entre as imagens dos extremos; a monotonicidade indica qual extremo é máximo e qual é mínimo.)

Passo 5

Imagem do terceiro ramo ( x>1, r(x)=-2). É constante igual a -2, então a imagem desse ramo é o conjunto \{-2\}. Observação útil: o valor -2 já aparece como extremidade do ramo anterior (em x=1), então não adiciona novos valores ao conjunto total além de -2.

Passo 6

Unir as imagens dos três ramos. Temos:
\text{Imagem} = (-\infty,2)\\ \cup\\ [-2,2]\\ \cup\\ \{-2\}.
Fazendo a união isso simplifica para
(-\infty,2].
Explicação curta: o primeiro ramo dá todos os valores menores que 2; o segundo completa incluindo os valores entre -2 e 2 (inclusive); o terceiro apenas repete -2. Portanto a imagem total é todos os números menores ou iguais a 2.

Passo 7

Verificação de continuidade nos pontos de junção ( x=-1 e x=1) — importante para o esboço:
  • Em x=-1: limite à esquerda usando x+3 2; valor no ponto pelo segundo ramo é r(-1)=2. Logo contínua em x=-1.
  • Em x=1: limite à direita pelo ramo constante dá -2; valor no ponto pelo segundo ramo é r(1)=-2. Logo contínua em x=1.
    Assim r é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que no gráfico não haverá quebras visíveis — embora cada ramo tenha sua definição, as peças se “encaixam”.

Passo 8

Como esboçar o gráfico (instruções passo a passo para fazer à mão, como na prova):
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Marque os pontos-chave calculados:
    • (-1,2) (vindo do segundo ramo; também é o limite da primeira reta).
    • (1,-2) (vindo do segundo ramo; também extremo do segmento e ponto onde continua o ramo constante).
  3. Para x<-1: desenhe a reta y=x+3 só para x<-1. Essa reta tem inclinação 1 e passa por (-1,2) (sem marcar um ponto aberto aí, pois o ponto fechado será dado pelo segundo ramo).
  4. Para -1\le x\le 1: desenhe o segmento da reta y=-2x ligando (-1,2) a (1,-2). Ambos os extremos são preenchidos (pontos sólidos).
  5. Para x>1: desenhe a semi‑reta horizontal y=-2 à direita de x=1. O ponto em x=1 já está preenchido pelo segundo ramo, então visualmente é uma linha contínua para a direita em y=-2.
  6. Verifique visualmente: não haverá lacunas; o gráfico é formado por uma reta inclinada à esquerda, um segmento com inclinação -2 no meio e uma linha horizontal à direita.
Dicas de prova rápida: anote os valores nos pontos (-1,2) e (1,-2), identifique inclinações ( +1, -2, e 0) e desenhe as três peças respeitando os intervalos em x.

Resposta

\text{Dom}(r)=\mathbb{R}
\text{Im}(r)=(-\infty,2]

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