d) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)}{\sqrt[3]{x^{2}}-2 \sqrt[3]{x}+1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}\,.
Ao substituir diretamente x=1 vem \tfrac{0}{0}, ou seja, há indeterminação. Vamos eliminar isso com uma mudança de variável apropriada.

Passo 2

Defina
t = \sqrt[3]{x}\quad\Longrightarrow\quad x = t^{3}.
Quando x\to1, temos t\to1. Reescrevendo numerador e denominador em função de t:
  • Numerador: x-1 = t^{3}-1.
  • Denominador: \sqrt[3]{x^{2}} - 2\sqrt[3]{x} +1 = t^{2}-2t+1.

Passo 3

Agora fatoramos cada polinômio:
t^{3}-1 = (t-1)(t^{2}+t+1), \qquad t^{2}-2t+1 = (t-1)^{2}.
Logo, para x\neq1 (isto é, t\neq1),
\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1} = \frac{(t-1)(t^{2}+t+1)}{(t-1)^{2}} = \frac{t^{2}+t+1}{t-1}.

Passo 4

Restou analisar
g(t)=\frac{t^{2}+t+1}{t-1} \quad\text{quando }t\to1.
Como t^{2}+t+1\to3 e t-1\to0, o quociente explode:
  • Se t\to1^+ (isto é, x\to1^+), então t-1>0 e g(t)\to+\infty.
  • Se t\to1^- (isto é, x\to1^-), então t-1<0 e g(t)\to-\infty.

Resposta

O limite não existe como número finito, pois
\lim_{x\to1^-}\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}=-\infty, \quad \lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}=+\infty.

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