Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x, m ou n impar
3. \int \sqrt{\sin x} \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{\sin x}\,\cos^3 x\,dx
que é um caso de integrais da forma \int \sin^m x\cos^n x\,dx com n ímpar. O truque clássico aqui é separar um fator \cos x\,dx para usar a substituição u=\sin x e reescrever \cos^2 x em função de \sin x.

Passo 2

Separe um fator de \cos x e use a identidade \cos^2 x=1-\sin^2 x:
\cos^3 x\,dx = \cos^2 x\;\cos x\,dx =\bigl(1-\sin^2 x\bigr)\cos x\,dx.
Logo a integral vira
\int \sqrt{\sin x}\,(1-\sin^2 x)\,\cos x\,dx.

Passo 3

Faça a substituição
u = \sin x, \qquad du = \cos x\,dx.
Então \sqrt{\sin x}=u^{1/2} e a integral em u é
\int u^{1/2}\,(1-u^2)\,du = \int\bigl(u^{1/2}-u^{5/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integre termo a termo:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}, \qquad \int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}u^{7/2}.
Portanto
\int\bigl(u^{1/2}-u^{5/2}\bigr)\,du = \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{7}u^{7/2} + C.
Voltando a u=\sin x, obtemos o resultado final.

Resposta

\int \sqrt{\sin x}\,\cos^3 x\,dx = \frac{2}{3}\,\sin^{3/2}x \;-\;\frac{2}{7}\,\sin^{7/2}x + C.

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