Determine o Domínio, a Imagem e esboce o gráfico de:
f(x)=|3 x-6|;

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
f(x)=\lvert 3x-6\rvert.
Aqui usaremos a definição de valor absoluto para reescrever f em duas partes (quando o argumento é não-negativo ou negativo) e assim achar domínio, imagem e forma do gráfico.

Passo 2

Para qualquer x\in\mathbb{R} a expressão 3x-6 está bem definida e o valor absoluto funciona para todo real. Logo o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Determinamos onde o binômio muda de sinal resolvendo
\;3x-6=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.
  • Se x\ge2, então 3x-6\ge0 e
\;f(x)=3x-6.
  • Se x<2, então 3x-6<0 e
\;f(x)=-(3x-6)=6-3x.

Passo 4

Em x=2 temos
\;f(2)=\lvert3\cdot2-6\rvert=0,
que é o valor mínimo, pois em ambas as retas 6-3x para x<2 e 3x-6 para x\ge2 à medida que \lvert x-2\rvert cresce, f(x) cresce sem limite. Não há valores negativos, logo a imagem é
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 5

O gráfico é um “V” com vértice em (2,0):
  • Para x<2, reta de coeficiente angular -3 passando por (2,0),
  • Para x\ge2, reta de coeficiente angular 3 passando por (2,0).
Em coordenadas, desenhe o vértice em (2,0), depois ramos inclinados com ângulos simétricos em relação ao eixo y.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: “V” com vértice em (2,0), ramos dados por
f(x)= \begin{cases} 6-3x, & x<2,\\\\ 3x-6, & x\ge2. \end{cases}

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