Determine o Dominio, a Imagem c esboce o gráfico de:
f(x)=\frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}

Passo 1

O enunciado nos pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função racional
f(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}.
Aqui o conteúdo principal é análise de funções racionais: fatoração de polinômios, simplificação, identificação de descontinuidade removível e determinação de domínio e imagem.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos onde o denominador se anula. Temos
x-2=0\;\Longrightarrow\;x=2,
que não pode ocorrer. Logo o domínio é
D=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 3

Fatoramos o numerador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Para x\neq2, podemos simplificar
f(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3.
Isso mostra que, em todo ponto do domínio, f(x) coincide com a reta y=x-3, exceto em x=2, onde há um “buraco” (descontinuidade removível).

Passo 4

A imagem é o conjunto de valores de y=f(x). Como f(x)=x-3 percorre todos os reais quando x varia em \mathbb{R}, normalmente teríamos \mathbb{R}. Porém, o valor y=-1 ocorre exatamente para x=2, que está fora do domínio. Assim
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 5

O gráfico é simplesmente a reta y=x-3 com um ponto removido em (2,-1). Não há outras assíntotas além desse “buraco” que marca a descontinuidade removível.

Resposta

Domínio: D=\mathbb{R}\setminus\{2\}
Imagem: \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}
Gráfico: reta y=x-3 com um ponto excluído em (2,-1).

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