O problema de valor inicial
, onde
é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenos envolvendo crescimento e decaimento. Nestes termos, sabendo que a população de abelhas de uma colméia cresce a uma taxa proporcional ao números de abelhas presentes no instante t . Se a colméia dobrou em cinco anos, o tempo para que a colméia se quadruplique é em anos:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população de abelhas:
, onde
é a quantidade de abelhas no tempo
e
é uma constante. A ideia é descobrir quanto tempo a colméia leva para quadruplicar de tamanho, sabendo que ela dobra em 5 anos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é uma equação diferencial que descreve um crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
onde:
-
é a população no tempo , -
é a população inicial no tempo , -
é a constante de crescimento.
Passo 3
Sabemos que a colméia dobra em 5 anos. Isso significa que:
Vamos substituir na solução geral:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Então:
Passo 5
Queremos saber em quanto tempo a colméia quadruplica, ou seja:
Usando a solução geral novamente:
Dividindo por
:
Passo 6
Substituímos
pela expressão que encontramos:
Tirando o logaritmo natural:
Sabemos que
, então:
Simplificando, cancelando
:
Multiplicando os dois lados por 5:
Resposta
A colméia levará 10 anos para quadruplicar.