O problema de valor inicial d Pd t=k P, P(t0)=p0, onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenos envolvendo crescimento e decaimento. Nestes termos, sabendo que a população de abelhas de uma colméia cresce a uma taxa proporcional ao números de abelhas presentes no instante t . Se a colméia dobrou em cinco anos, o tempo para que a colméia se quadruplique é em anos:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população de abelhas: , onde é a quantidade de abelhas no tempo e é uma constante. A ideia é descobrir quanto tempo a colméia leva para quadruplicar de tamanho, sabendo que ela dobra em 5 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação P(t) = P0 cdot e^k(t - t0) . Essa é uma equação diferencial que descreve um crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
onde:
  • é a população no tempo ,
  • é a população inicial no tempo ,
  • é a constante de crescimento.

Passo 3

Sabemos que a colméia dobra em 5 anos. Isso significa que:
P(t0 + 5) = 2P0
Vamos substituir na solução geral:
2P0 = P0 cdot e^k cdot 5
Dividindo ambos os lados por 2 = e^5k :

Passo 4

Agora, vamos resolver para ln(2) = 5k . Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
k = ln(2)5
Então:

Passo 5

Queremos saber em quanto tempo a colméia quadruplica, ou seja:
P(t) = 4P0
Usando a solução geral novamente:
4P0 = P0 cdot e^k(t - t0)
Dividindo por 4 = e^k(t - t0) :

Passo 6

Substituímos 4 = e^ln(2)5 cdot t pela expressão que encontramos:
ln(4) = ln(2)5 cdot t
Tirando o logaritmo natural:
2ln(2) = ln(2)5 cdot t
Sabemos que 2 = t5 , então:
t = 10
Simplificando, cancelando :
Multiplicando os dois lados por 5:

Resposta

A colméia levará 10 anos para quadruplicar.

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