Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{x + 4}{x - 4} $. Isso entra na matéria de funções racionais, onde analisamos onde a função está definida, quais valores ela pode assumir e como ela se comporta graficamente. Vamos precisar entender sobre limites, assíntotas e resolver algumas equações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Olha só, nossa função é $ f(x) = \frac{x + 4}{x - 4} $. A gente precisa garantir que o denominador $ x - 4 $ não seja zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática.
Então, vamos resolver:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 4 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir.
Para isso, vamos resolver a equação $ y = \frac{x + 4}{x - 4} $ em termos de $ x $ e ver quais valores de $ y $ são possíveis.
Multiplicando ambos os lados por $ x - 4 $:
Distribuindo o $ y $:
Vamos reunir os termos com $ x $:
Fatorando o $ x $:
Finalmente, isolando $ x $:
Para que $ x $ seja um número real, o denominador $ y - 1 $ não pode ser zero:
Então, a imagem da função é todos os números reais exceto $ y = 1 $.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{x + 4}{x - 4} $. Aqui estão os passos para isso:
-
Assíntota Vertical: Foi encontrado que $ x = 4 $ não está no domínio, então temos uma assíntota vertical nessa linha.
-
Assíntota Horizontal: Observando o comportamento da função, quando $ x $ tende ao infinito, $ f(x) $ tende a 1. Então, $ y = 1 $ é uma assíntota horizontal.
-
Interseção com o Eixo $ y $: Para encontrar onde a função cruza o eixo $ y $, colocamos $ x = 0 $:
Então, a função passa pelo ponto $ (0, -1) $.
- Interseção com o Eixo $ x $: Para encontrar onde a função cruza o eixo $ x $, colocamos $ f(x) = 0 $:
Então, a função passa pelo ponto $ (-4, 0) $.
- Comportamento da Função: Entre as assíntotas, a função se aproxima dessas linhas mas nunca as toca.
Com todas essas informações, o esboço do gráfico ficará assim:
- Assíntota Vertical em $ x = 4 $
- Assíntota Horizontal em $ y = 1 $
- Passa pelos pontos $ (0, -1) $ e $ (-4, 0) $
Resposta
- Domínio: $ \mathbb{R} \setminus {4} $
- Imagem: $ \mathbb{R} \setminus {1} $
- Gráfico: Esboçado com assíntotas em $ x = 4 $ e $ y = 1 $, passando pelos pontos $ (0, -1) $ e $ (-4, 0) $.