Suponha novamente que
é contínua e que
somente para
, porém suponha que
para algum
e que
para algum
. Agora, o que pode ser dito sobre
para todo
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua f tal que f(a)=0 é o único ponto onde ela zera, e sabemos que existe algum x>a com f(x)>0 e algum x<a com f(x)<0. Precisamos usar essas informações para determinar o sinal de f em todo o domínio, exceto em x=a.
Passo 2
Como f é contínua e não tem outras raízes além de x=a, ela não pode mudar de sinal em cada um dos dois intervalos sem passar por zero de novo. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f mudasse de positivo para negativo (ou vice-versa) num mesmo intervalo, haveria outra raiz.
Passo 3
Como já temos f>0 em algum ponto de (a,∞), então em todo o intervalo (a,∞) f deve permanecer positiva para não criar outra raiz. De modo análogo, como f<0 em algum ponto de (-∞,a), então em todo o intervalo (-∞,a) f deve permanecer negativa.
Resposta
Para todo x>a, f(x)>0; e para todo x<a, f(x)<0.