Suponha novamente que f é contínua e que f(x)=0 somente para x=a, porém suponha que f(x)>0 para algum x>a e que f(x)<0 para algum x. Agora, o que pode ser dito sobre f(x) para todo x neq a ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f tal que f(a)=0 é o único ponto onde ela zera, e sabemos que existe algum x>a com f(x)>0 e algum x<a com f(x)<0. Precisamos usar essas informações para determinar o sinal de f em todo o domínio, exceto em x=a.

Passo 2

Como f é contínua e não tem outras raízes além de x=a, ela não pode mudar de sinal em cada um dos dois intervalos sem passar por zero de novo. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f mudasse de positivo para negativo (ou vice-versa) num mesmo intervalo, haveria outra raiz.

Passo 3

Como já temos f>0 em algum ponto de (a,∞), então em todo o intervalo (a,∞) f deve permanecer positiva para não criar outra raiz. De modo análogo, como f<0 em algum ponto de (-∞,a), então em todo o intervalo (-∞,a) f deve permanecer negativa.

Resposta

Para todo x>a, f(x)>0; e para todo x<a, f(x)<0.

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