Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0 l(x1+xr)^x
Esse é um caso de indeterminação do tipo 0^0. Vamos usar propriedades de logaritmo e limites fundamentais para resolver.

Passo 2

Vamos chamar a função de interesse de f(x)=l(tfracx1+xr)^x e tomar o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente:
ln f(x)=xlnl(x1+xr)=xl(ln x-ln(1+x)r)
Isso transforma nossa tarefa em achar limxto0ln f(x).

Passo 3

Agora separamos o limite em duas partes:
limxto0xln x e limxto0[-xln(1+x)]
Sabemos que limxto0xln x=0 porque ln x diverge mais lentamente que 1/x. Para a segunda parte, usamos a expansão ln(1+x)approx x quando x é pequeno, logo
-xln(1+x)approx -xcdot x=-x^2to0
Somando as partes, obtemos
limxto0ln f(x)=0+0=0

Passo 4

Como ln f(x)to0, concluímos que f(x)to e^0=1. Portanto o limite original é 1.

Resposta

1

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