Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da seguinte função
g(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função $ g(x, y, z) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis, principalmente entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero. Então, precisamos resolver:
x^2 + y^2 + z^2 - 1 neq 0
Isso significa que:
x^2 + y^2 + z^2 neq 1
Geometricamente, essa desigualdade representa todo o espaço tridimensional menos a esfera de raio 1 centrada na origem. Ou seja, o domínio é R^3 sem a superfície da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que g(x, y, z) pode assumir. Considerando g = 1s, onde s = x^2 + y^2 + z^2 - 1.
Analisando s:
  • Se s > 0 (ou seja, x^2 + y^2 + z^2 > 1), então g = 1s é positivo e vai de 0 a +infty.
  • Se s < 0 (ou seja, x^2 + y^2 + z^2 < 1), então g = 1s é negativo e vai de -infty a -1.
Portanto, a imagem de g é:
(-infty, -1) cup (0, +infty)

Passo 4

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Essa função representa uma superfície onde o valor de g depende da distância ao quadrado da origem menos 1.
  • Para x^2 + y^2 + z^2 > 1, temos valores positivos de g que diminuem à medida que a distância aumenta.
  • Para x^2 + y^2 + z^2 < 1, temos valores negativos de g que se tornam mais negativos conforme nos aproximamos da origem.
O gráfico terá uma espécie de “hipérboloide” em duas partes: uma aberta para cima (valores positivos) e outra para baixo (valores negativos), separadas pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, onde a função não está definida.

Resposta

O domínio da função $ g(x, y, z) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1} $ é todo g(x, y, z) = 1x^2 + y^2 + z^2 - 1 exceto os pontos que satisfazem R^3. A imagem da função é o conjunto x^2 + y^2 + z^2 = 1. O gráfico da função consiste em duas superfícies hiperbólicas separadas pela esfera de raio 1, onde a função não está definida.

Exercícios relacionados