Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da seguinte função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função $ g(x, y, z) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de funções de várias variáveis, principalmente entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pontos
onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero. Então, precisamos resolver:
Isso significa que:
Geometricamente, essa desigualdade representa todo o espaço tridimensional menos a esfera de raio 1 centrada na origem. Ou seja, o domínio é
sem a superfície da esfera
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Considerando
, onde
.
Analisando
:
- Se
(ou seja, ), então é positivo e vai de 0 a . - Se
(ou seja, ), então é negativo e vai de a .
Portanto, a imagem de
é:
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Essa função representa uma superfície onde o valor de
depende da distância ao quadrado da origem menos 1.
- Para
, temos valores positivos de que diminuem à medida que a distância aumenta. - Para
, temos valores negativos de que se tornam mais negativos conforme nos aproximamos da origem.
O gráfico terá uma espécie de “hipérboloide” em duas partes: uma aberta para cima (valores positivos) e outra para baixo (valores negativos), separadas pela esfera
, onde a função não está definida.
Resposta
O domínio da função $ g(x, y, z) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1} $ é todo
exceto os pontos que satisfazem
. A imagem da função é o conjunto
. O gráfico da função consiste em duas superfícies hiperbólicas separadas pela esfera de raio 1, onde a função não está definida.