Use sếries geométricas para mostrar que
sumk=0^infty(x-3)^k=14-x se 2

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a soma infinita sumk=0^infty(x-3)^k vale 1/(4-x) quando 2. O conteúdo principal é séries geométricas, e nós vamos usar a condição de convergência |r|<1 e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Uma série geométrica é da forma sumk=0^infty a,r^k, onde a é o primeiro termo e r é a razão. Aqui, identificamos a=(x-3)^0=1 e r=x-3.

Passo 3

Para a série convergir, precisamos de |r|<1. Isso dá
|x-3|<1
o que equivale a
-1 < x-3 < 1 Longrightarrow 2

Passo 4

Com a condição de convergência satisfeita, aplicamos a fórmula da soma de série geométrica:
sumk=0^infty a,r^k = a1-r

Passo 5

Substituindo a=1 e r=x-3 temos
sumk=0^infty(x-3)^k = 11-(x-3)

Passo 6

Basta então simplificar o denominador:
1-(x-3)=1-x+3=4-x,
logo a soma é
14-x

Resposta

sumk=0^infty(x-3)^k = 14-x, 2

Exercícios relacionados