Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para achar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
O conteúdo aqui é a função exponencial de base maior que 1. Vamos usar o fato de que
está definido para todo
, que seus valores são sempre positivos, e que cresce de forma monótona.
Passo 2
Para determinar o domínio de
, lembramos que a exponencial
(com
) está definida para todo número real
. Não há nenhuma restrição de divisão por zero ou de radiciação de índice par em número negativo. Logo,
Passo 3
Para encontrar a imagem (ou contradomínio efetivo) de
, observamos que
nunca se anula nem fica negativa, pois resulta de multiplicar
por si mesmo
vezes (ou seu inverso, se
). Conforme
,
, e conforme
,
. Portanto,
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
, consideramos alguns pontos notáveis e o comportamento assintótico:
- No ponto
, temos . - No ponto
, temos . - Conforme
, a curva se aproxima de sem nunca tocá-la (assimptota horizontal em ). - Conforme
, cresce rápido para .
O esboço é uma curva que passa por
e
, cresce monotonicamente e fica cada vez mais próxima de
à esquerda.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva crescente que passa por , tem assimptota horizontal
à esquerda e cresce ilimitadamente à direita.
Imagem:
Gráfico: curva crescente que passa por