Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=2^x

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
f(x) = 2^x
O conteúdo aqui é a função exponencial de base maior que 1. Vamos usar o fato de que 2^x está definido para todo xinR, que seus valores são sempre positivos, e que cresce de forma monótona.

Passo 2

Para determinar o domínio de f, lembramos que a exponencial a^x (com a>0) está definida para todo número real x. Não há nenhuma restrição de divisão por zero ou de radiciação de índice par em número negativo. Logo,
Domínio(f)=,xmid xinR,=(-infty,infty) í

Passo 3

Para encontrar a imagem (ou contradomínio efetivo) de f, observamos que 2^x nunca se anula nem fica negativa, pois resulta de multiplicar 2 por si mesmo x vezes (ou seu inverso, se x<0). Conforme xto-infty, 2^xto0^+, e conforme xto+infty, 2^xto+infty. Portanto,
Ima>=m(f)=(0,infty)

Passo 4

Para esboçar o gráfico de f(x)=2^x, consideramos alguns pontos notáveis e o comportamento assintótico:
  1. No ponto x=0, temos f(0)=2^0=1.
  2. No ponto x=1, temos f(1)=2^1=2.
  3. Conforme xto-infty, a curva se aproxima de y=0 sem nunca tocá-la (assimptota horizontal em y=0).
  4. Conforme xto+infty, f(x) cresce rápido para +infty.
O esboço é uma curva que passa por (0,1) e (1,2), cresce monotonicamente e fica cada vez mais próxima de y=0 à esquerda.

Resposta

Domínio: (-infty,infty)
Imagem: (0,infty)
Gráfico: curva crescente que passa por (0,1), tem assimptota horizontal y=0 à esquerda e cresce ilimitadamente à direita.

Exercícios relacionados