Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=3^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função f(x)=3^{x+1}: determinar o domínio, determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f) e esboçar o gráfico.
Informações dadas: a própria expressão da função, isto é \;f(x)=3^{x+1}\;.

Passo 2

Determinar o domínio: devo verificar para quais valores de x a expressão \;3^{x+1}\; está bem definida. A operação aqui é uma potência de base 3 e expoente x+1. Potências de base positiva são definidas para qualquer expoente real. Portanto todos os x\in\mathbb{R} são permitidos. Conclusão:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Entender o comportamento geral (idéia para a imagem): exponenciais com base maior que 1 têm duas propriedades úteis que vou usar e explicar passo a passo:
  • Para qualquer real t temos 3^{t}>0. Ou seja, uma potência de base positiva nunca dá zero nem número negativo.
  • Se a>1 e \delta>0 então a^{\delta}>1. Aplicando isso, se x_2>x_1 então x_2=x_1+\delta com \delta>0 e
3^{x_2+1}=3^{x_1+1+\delta}=3^{x_1+1}\cdot 3^{\delta}>3^{x_1+1},
logo a função é estritamente crescente.
Essas duas observações já dão pistas: os valores de f são sempre positivos e, à medida que x aumenta, f aumenta.

Passo 4

Determinar a imagem de forma rigorosa usando limites: verificar os extremos possíveis de f.
  • Quando x\to -\infty, o expoente x+1\to -\infty e potências 3^{\text{(expoente muito negativo)}} tendem a 0 pelo lado positivo. Formalmente:
\lim_{x\to -\infty} 3^{x+1}=0.
Isso mostra que a função se aproxima de 0 por cima, mas nunca alcança 0.
  • Quando x\to +\infty, o expoente x+1\to +\infty e
\lim_{x\to +\infty} 3^{x+1}=+\infty.
Portanto os valores cobrem todos os positivos, mas não incluem 0 nem negativos. Conclusão:
\text{Imagem}=(0,\infty).

Passo 5

Pontos importantes e interceptos (úteis para esboçar o gráfico):
  • Interseção com o eixo y (quando x=0):
f(0)=3^{0+1}=3^{1}=3,
então o ponto (0,3) está no gráfico.
  • Não existe interseção com o eixo x, pois resolver 3^{x+1}=0 não tem solução (potências positivas nunca são zero).
  • Alguns pontos fáceis para ter ideia da forma:
f(-2)=3^{-2+1}=3^{-1}=\tfrac{1}{3},
f(-1)=3^{-1+1}=3^{0}=1,
f(1)=3^{1+1}=3^{2}=9.
Listei esses pontos para você plotar rapidamente: (-2,\tfrac{1}{3}),(-1,1),(0,3),(1,9).

Passo 6

Assíntota horizontal e monotonicidade:
  • A função tem assíntota horizontal y=0 porque \lim_{x\to -\infty} f(x)=0.
  • A função é estritamente crescente em todo o domínio (justifiquei isso no Passo 3 usando 3^{x_2}=3^{x_1}\cdot 3^{\delta} >3^{x_1} quando x_2>x_1). Assim o gráfico sobe da esquerda para a direita.

Passo 7

Como esboçar o gráfico na prova (passo a passo prático, tipo receita):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque a assíntota horizontal y=0 como uma linha tracejada (a curva se aproxima dela à esquerda).
  2. Marque os pontos calculados: (-2,\tfrac{1}{3}), (-1,1), (0,3), (1,9).
  3. Ligue os pontos com uma curva suave, sempre passando por esses pontos, que se aproxima de y=0 quando vai para a esquerda e cresce rapidamente para a direita.
  4. Verifique que a curva nunca cruza y=0 e é estritamente crescente.
(Dica amigável: comece desenhando os pontos mais próximos do eixo y e toque a assíntota por baixo; isso facilita o desenho à mão livre.)

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\infty)
Esboço do gráfico: curva exponencial estritamente crescente com assíntota horizontal y=0, passa por (-2,\tfrac{1}{3}),(-1,1),(0,3),(1,9) (deve ser desenhada aproximando-se de y=0 à esquerda e subindo rapidamente à direita).

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