Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
: determinar o domínio, determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
) e esboçar o gráfico.
Informações dadas: a própria expressão da função, isto é .
Informações dadas: a própria expressão da função, isto é
Passo 2
Determinar o domínio: devo verificar para quais valores de
a expressão
está bem definida. A operação aqui é uma potência de base
e expoente
. Potências de base positiva são definidas para qualquer expoente real. Portanto todos os
são permitidos. Conclusão:
Passo 3
Entender o comportamento geral (idéia para a imagem): exponenciais com base maior que
têm duas propriedades úteis que vou usar e explicar passo a passo:
- Para qualquer real
temos . Ou seja, uma potência de base positiva nunca dá zero nem número negativo. - Se
e então . Aplicando isso, se então com e
logo a função é estritamente crescente.
Essas duas observações já dão pistas: os valores de
são sempre positivos e, à medida que
aumenta,
aumenta.
Passo 4
Determinar a imagem de forma rigorosa usando limites: verificar os extremos possíveis de
.
- Quando
, o expoente e potências tendem a pelo lado positivo. Formalmente:
Isso mostra que a função se aproxima de
por cima, mas nunca alcança
.
- Quando
, o expoente e
Portanto os valores cobrem todos os positivos, mas não incluem
nem negativos. Conclusão:
Passo 5
Pontos importantes e interceptos (úteis para esboçar o gráfico):
- Interseção com o eixo
(quando ):
então o ponto
está no gráfico.
- Não existe interseção com o eixo
, pois resolver não tem solução (potências positivas nunca são zero). - Alguns pontos fáceis para ter ideia da forma:
Listei esses pontos para você plotar rapidamente:
.
Passo 6
Assíntota horizontal e monotonicidade:
- A função tem assíntota horizontal
porque . - A função é estritamente crescente em todo o domínio (justifiquei isso no Passo 3 usando
quando ). Assim o gráfico sobe da esquerda para a direita.
Passo 7
Como esboçar o gráfico na prova (passo a passo prático, tipo receita):
- Desenhe os eixos
e . Marque a assíntota horizontal como uma linha tracejada (a curva se aproxima dela à esquerda). - Marque os pontos calculados:
, , , . - Ligue os pontos com uma curva suave, sempre passando por esses pontos, que se aproxima de
quando vai para a esquerda e cresce rapidamente para a direita. - Verifique que a curva nunca cruza
e é estritamente crescente.
(Dica amigável: comece desenhando os pontos mais próximos do eixo
e toque a assíntota por baixo; isso facilita o desenho à mão livre.)
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: curva exponencial estritamente crescente com assíntota horizontal , passa por
(deve ser desenhada aproximando-se de
à esquerda e subindo rapidamente à direita).
Imagem:
Esboço do gráfico: curva exponencial estritamente crescente com assíntota horizontal