Encontre o valor de x nas seguintes equações:
\left(\frac{4}{9}\right)^{x}=1,5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de x que satisfaz a equação
\left(\frac{4}{9}\right)^{x}=1,5.
Informações relevantes fornecidas:
  • A base da potência é \frac{4}{9}.
  • O membro direito é 1,5, que podemos escrever como a fração \frac{3}{2} (pois 1,5=\frac{3}{2}).
  • Precisamos determinar x\in\mathbb{R} que torna a igualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos reescrever a base \frac{4}{9} como uma potência mais simples. Observamos que 4=2^{2} e 9=3^{2}, portanto
\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}.
Aqui usei a identidade \left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}. Substituindo na equação original obtemos
\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right)^{x}=\frac{3}{2}.

Passo 3

Aplicamos a propriedade de potências \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}. Assim,
\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}=\frac{3}{2}.
Agora observe que \frac{2}{3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1} (porque trocar numerador e denominador equivale a elevar a -1). Substituindo,
\left(\frac{3}{2}\right)^{-2x}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Temos a igualdade entre potências com a mesma base positiva \frac{3}{2} (e diferente de 1). Quando a>0 e a\neq1, se a^{m}=a^{n} então m=n. Aplicando isso aqui:
-2x=1.
Agora basta resolver para x:
x=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Fazer uma checagem rápida (para ganhar confiança): substituindo x=-\tfrac{1}{2},
\left(\frac{4}{9}\right)^{-1/2}=\left(\frac{9}{4}\right)^{1/2}=\frac{3}{2}=1,5,
onde usei que a^{-1}=\tfrac{1}{a} e que \sqrt{\tfrac{9}{4}}=\tfrac{3}{2}. A verificação confirma que o resultado está correto.

Resposta

x=-\dfrac{1}{2}

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