Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
ointC y^2 d x+3 x y d y, C é o limite do semianel D contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2 ;

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
ointCy^2,dx + 3xy,dy
onde C é o limite do semianel D no semiplano superior, entre os círculos de raio 1 e 2 centrados na origem, orientado positivamente (contorno no sentido anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green, que diz que
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=3xy
Logo seus parciais são
partial Qpartial x =3y, partial Ppartial y =2y

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointCy^2,dx + 3xy,dy = integral duplaDl(3y - 2yr),dA = integral duplaDy,dA

Passo 4

Em coordenadas polares temos y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. O domínio D é dado por
1 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi
Assim
integral duplaDy,dA = integral0^piintegral1^2l(rsinthetar),(r,dr,dtheta) = integral0^pisintheta,dtheta integral1^2r^2,dr

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral0^pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = 2,
integral1^2r^2,dr = l[tfracr^33r]1^2 = 83-13 = 73
Multiplicando,
integral duplaDy,dA = 2 times 73 = 143

Resposta

143

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