Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o limite do semianel
contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2 ;
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
onde
é o limite do semianel
no semiplano superior, entre os círculos de raio 1 e 2 centrados na origem, orientado positivamente (contorno no sentido anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green, que diz que
Passo 2
Identificamos
Logo seus parciais são
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
Passo 4
Em coordenadas polares temos
e
. O domínio
é dado por
Assim
Passo 5
Calculamos separadamente:
Multiplicando,