Determine o domínio, a imagem e o esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado: queremos achar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico de H(x)=|x|+⌈x⌉. O conteúdo principal é a combinação do valor absoluto com a função teto (ceiling), e vamos usar as propriedades de ambas.
Passo 2
Domínio: como |x| e ⌈x⌉ estão definidas para todo x∈ℝ, temos Dom(H)=ℝ.
Passo 3
Observação sobre ⌈x⌉: para cada inteiro n, se x∈(n−1,n] então ⌈x⌉=n. Logo, em cada intervalo (n−1,n] podemos escrever
Passo 4
Dividindo em x≤0 e x≥0 dentro de (n−1,n]: para x≤0 vale |x|=−x, então
e para x≥0 vale |x|=x, então
Passo 5
Em cada intervalo (n−1,n] a função é reta de declive −1 (se n≤0) ou +1 (se n≥1), aberta na extremidade x→(n−1)^+ e fechada em x=n.
Passo 6
Cálculo da imagem:
- Para n≤0, em (n−1,n] temos H(x) varia de lim_{x→(n−1)^+}[-x+n]=1 (aberto) até H(n)=−n+n=0 (fechado). Todos os inteiros n≤0 dão H(n)=0. Logo desta parte obtemos [0,1).
- Para n≥1, em (n−1,n] temos H(x) varia de (n−1)+n=2n−1 (aberto) até H(n)=n+n=2n (fechado), gerando (2n−1,2n].
Passo 7
Unindo tudo a imagem é
Resposta
Domínio: ℝ
Imagem:
.
Esboço: segmentos lineares de comprimento 1 em cada intervalo (n−1,n], com declive −1 se n≤0 e +1 se n≥1, abertos em x→(n−1)^+ e fechados em x=n, conforme descrito.