Determine o domínio, a imagem e o esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:
H(x)=|x|+lceil xrceil

Passo 1

Enunciado: queremos achar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico de H(x)=|x|+⌈x⌉. O conteúdo principal é a combinação do valor absoluto com a função teto (ceiling), e vamos usar as propriedades de ambas.

Passo 2

Domínio: como |x| e ⌈x⌉ estão definidas para todo x∈ℝ, temos Dom(H)=ℝ.

Passo 3

Observação sobre ⌈x⌉: para cada inteiro n, se x∈(n−1,n] então ⌈x⌉=n. Logo, em cada intervalo (n−1,n] podemos escrever
H(x)=|x|+n

Passo 4

Dividindo em x≤0 e x≥0 dentro de (n−1,n]: para x≤0 vale |x|=−x, então
H(x)=-x+n,
e para x≥0 vale |x|=x, então
H(x)=x+n

Passo 5

Em cada intervalo (n−1,n] a função é reta de declive −1 (se n≤0) ou +1 (se n≥1), aberta na extremidade x→(n−1)^+ e fechada em x=n.

Passo 6

Cálculo da imagem:
  • Para n≤0, em (n−1,n] temos H(x) varia de lim_{x→(n−1)^+}[-x+n]=1 (aberto) até H(n)=−n+n=0 (fechado). Todos os inteiros n≤0 dão H(n)=0. Logo desta parte obtemos [0,1).
  • Para n≥1, em (n−1,n] temos H(x) varia de (n−1)+n=2n−1 (aberto) até H(n)=n+n=2n (fechado), gerando (2n−1,2n].

Passo 7

Unindo tudo a imagem é
0cup(0,1)cupcupk=1^infty(2k-1,2k]

Resposta

Domínio: ℝ
Imagem: 0cup(0,1)cupcupk=1^infty(2k-1,2k].
Esboço: segmentos lineares de comprimento 1 em cada intervalo (n−1,n], com declive −1 se n≤0 e +1 se n≥1, abertos em x→(n−1)^+ e fechados em x=n, conforme descrito.

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