Em cada item defina as funções
e determine seus domínios:
e
Passo 1
O enunciado pede para a gente definir as composições de funções f e g — ou seja, f∘g, g∘f, f∘f e g∘g — e encontrar o domínio de cada uma. O conteúdo aqui é composição de funções, que usa a regra (h∘k)(x)=h(k(x)). Como f(x)=3−2x e g(x)=6−3x são definidas em todo ℝ, isso facilita na hora de ver o domínio.
Passo 2
Para calcular f∘g, precisamos aplicar g primeiro e depois f. Primeiro escrevemos f(g(x)) e simplificamos:
Como g(x) está definido para todo x∈ℝ e f também, temos dom(f∘g)=\ℝ.
Passo 3
Para g∘f, aplicamos f primeiro e depois g. Escrevemos g(f(x)) e simplificamos:
De novo, f(x) e g(y) estão definidas para todo real, logo dom(g∘f)=\ℝ.
Passo 4
Para f∘f, calculamos f(f(x)). Fazendo as contas:
Como f é linear e definida em todo ℝ, dom(f∘f)=\ℝ.
Passo 5
Para g∘g, calculamos g(g(x)). Segue:
E novamente g é definida em todo ℝ, então dom(g∘g)=\ℝ.
Resposta
f∘g(x)=6x−9, dom(f∘g)=ℝ; g∘f(x)=6x−3, dom(g∘f)=ℝ; f∘f(x)=4x−3, dom(f∘f)=ℝ; g∘g(x)=9x−12, dom(g∘g)=ℝ.