Determine o domínio, a imagem e o esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e fazer o esboço do gráfico da função por partes
Conteúdo: domínio e imagem de função por partes e esboço de gráfico usando análise de cada ramo.
Passo 2
Para determinar o domínio de uma função por partes, basta reunir todos os valores de x onde cada expressão está definida. Aqui temos um ramo válido para x<3 e outro para x\ge3, então o domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é
Passo 3
Para achar a imagem, analisamos separadamente cada ramo:
- Para x<3, g(x)=x^2-4 é uma parábola com mínimo em x=0, dando g(0)=-4. Como x varia em (-∞,3), x^2-4 assume todos os valores de -4 até +∞ (o valor 5 não é atingido em x<3, mas aparece no outro ramo).
- Para x\ge3, g(x)=2x-1 é uma reta crescente. No ponto x=3 temos g(3)=5 e, à medida que x→+∞, g(x)→+∞.
Unindo os dois, vemos que o menor valor é -4 e não há teto superior. Assim
Passo 4
Para esboçar o gráfico:
- Desenhe a parábola y=x^2-4 restrita a x<3, marcando um círculo aberto em (3,5).
- Desenhe a reta y=2x-1 para x\ge3, marcando um ponto fechado em (3,5) para manter continuidade neste valor.
Isso mostra claramente o comportamento de cada ramo e a união no ponto x=3.
Resposta
Domínio: (-∞,∞) Imagem: [-4,∞) Esboço: parábola y=x²-4 para x<3 (círculo aberto em (3,5)) e reta y=2x-1 para x≥3 (ponto fechado em (3,5)).