Determine o domínio, a imagem e o esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função definida por partes
O conteúdo envolve análise de domínio em radicais e determinação de imagem de funções do tipo
e
.
Passo 2
Para a parte
precisamos de
, o que dá
ou
. Para a parte
exigimos
, ou seja
. Unindo essas duas condições, o domínio é todo o eixo real.
Passo 3
Para a imagem olhamos cada ramo:
- Em
, varia de 0 (em ) até 4 (em ). - Em
ou , começa em 0 (em ) e cresce indefinidamente quando .
Assim o conjunto de valores é.
Passo 4
Para o esboço do gráfico:
- No intervalo
temos a semicircunferência superior de raio 4 centrada na origem. - Para
e temos dois ramos simétricos da curva , que partem de e crescem para cima à medida que aumenta.
Passo 5
O gráfico é contínuo em
e combina uma semicircunferência com dois ramos de hipérbole (ou equivalentes).
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Esboço: semicircunferência superior de raio 4 em
unida a dois ramos simétricos de
para
.