Determine o domínio, a imagem e o esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função definida por partes
h(x)= raizx^2-16,&x<-4 ou x>4, raiz16-x^2,&-4<= x<=4
O conteúdo envolve análise de domínio em radicais e determinação de imagem de funções do tipo raizx^2-a^2 e raiza^2-x^2.

Passo 2

Para a parte raizx^2-16 precisamos de x^2-16>=0, o que dá x<=-4 ou x>=4. Para a parte raiz16-x^2 exigimos 16-x^2>=0, ou seja -4<= x<=4. Unindo essas duas condições, o domínio é todo o eixo real.

Passo 3

Para a imagem olhamos cada ramo:
  • Em -4<= x<=4, h(x)=raiz16-x^2 varia de 0 (em x=pm4) até 4 (em x=0).
  • Em x<=-4 ou x>=4, h(x)=raizx^2-16 começa em 0 (em x=pm4) e cresce indefinidamente quando |x|toinfty.
    Assim o conjunto de valores é [0,infty).

Passo 4

Para o esboço do gráfico:
  • No intervalo [-4,4] temos a semicircunferência superior de raio 4 centrada na origem.
  • Para x>4 e x<-4 temos dois ramos simétricos da curva y=raizx^2-16, que partem de (pm4,0) e crescem para cima à medida que |x| aumenta.

Passo 5

O gráfico é contínuo em x=pm4 e combina uma semicircunferência com dois ramos de hipérbole (ou equivalentes).

Resposta

Domínio: R. Imagem: [0,infty). Esboço: semicircunferência superior de raio 4 em [-4,4] unida a dois ramos simétricos de y=raizx^2-16 para |x|>=4.

Exercícios relacionados