Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
Passo 1
A função dada é f(x)=|3x−1|−|2x+5|. Esse exercício envolve valor absoluto e definição por partes, então vamos precisar encontrar onde cada expressão dentro do |·| muda de sinal para montar as expressões lineares equivalentes.
Passo 2
Identificamos os pontos críticos onde 3x−1=0 ⇒ x=1/3 e 2x+5=0 ⇒ x=−5/2. Assim, temos três intervalos: x<−5/2, −5/2≤x≤1/3 e x>1/3. Removendo os valores absolutos em cada caso:
Para x<−5/2, 3x−1<0 e 2x+5<0,
Para x<−5/2, 3x−1<0 e 2x+5<0,
Para −5/2≤x≤1/3, 3x−1≤0 e 2x+5≥0,
Para x>1/3, 3x−1>0 e 2x+5>0,
Passo 3
O domínio da função é todo o conjunto dos reais, Dom(f)=ℝ. Para achar a imagem, analisamos cada ramo:
– No ramo x≤−5/2, f(x)=−x+6 cresce para ∞ quando x→−∞ e vale f(−5/2)=17/2;
– No ramo −5/2≤x≤1/3, f(x)=−5x−4 varia de f(−5/2)=17/2 até f(1/3)=−17/3;
– No ramo x≥1/3, f(x)=x−6 cresce para ∞ quando x→∞ e vale f(1/3)=−17/3.
Logo, o valor mínimo é f(1/3)=−17/3 e não há teto superior, então Im(f)=[−17/3,∞).
– No ramo x≤−5/2, f(x)=−x+6 cresce para ∞ quando x→−∞ e vale f(−5/2)=17/2;
– No ramo −5/2≤x≤1/3, f(x)=−5x−4 varia de f(−5/2)=17/2 até f(1/3)=−17/3;
– No ramo x≥1/3, f(x)=x−6 cresce para ∞ quando x→∞ e vale f(1/3)=−17/3.
Logo, o valor mínimo é f(1/3)=−17/3 e não há teto superior, então Im(f)=[−17/3,∞).
Passo 4
O gráfico é formado por três segmentos de reta que se encontram nos pontos de quebra:
– Reta y=−x+6 para x≤−5/2, passando por (−5/2,17/2);
– Reta y=−5x−4 para −5/2≤x≤1/3, ligando (−5/2,17/2) a (1/3,−17/3);
– Reta y=x−6 para x≥1/3, passando por (1/3,−17/3).
Isso resulta num “V” invertido até x=1/3 e depois uma reta crescente.
– Reta y=−x+6 para x≤−5/2, passando por (−5/2,17/2);
– Reta y=−5x−4 para −5/2≤x≤1/3, ligando (−5/2,17/2) a (1/3,−17/3);
– Reta y=x−6 para x≥1/3, passando por (1/3,−17/3).
Isso resulta num “V” invertido até x=1/3 e depois uma reta crescente.
Passo 5
A função é decrescente em (−∞,1/3] (slopes −1 e −5) e crescente em [1/3,∞) (slope +1). Como ela não é monotônica em todo ℝ, não é injetora.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Não é injetora.
Gráfico: segmentos de reta dados por
Imagem:
Não é injetora.
Gráfico: segmentos de reta dados por