Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
y=|3 x-1|-|2 x+5|

Passo 1

A função dada é f(x)=|3x−1|−|2x+5|. Esse exercício envolve valor absoluto e definição por partes, então vamos precisar encontrar onde cada expressão dentro do |·| muda de sinal para montar as expressões lineares equivalentes.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos onde 3x−1=0 ⇒ x=1/3 e 2x+5=0 ⇒ x=−5/2. Assim, temos três intervalos: x<−5/2, −5/2≤x≤1/3 e x>1/3. Removendo os valores absolutos em cada caso:
Para x<−5/2, 3x−1<0 e 2x+5<0,
f(x)=−(3x−1)−(−(2x+5))=−3x+1+2x+5=−x+6
Para −5/2≤x≤1/3, 3x−1≤0 e 2x+5≥0,
f(x)=−(3x−1)−(2x+5)=−5x−4
Para x>1/3, 3x−1>0 e 2x+5>0,
f(x)=(3x−1)−(2x+5)=x−6

Passo 3

O domínio da função é todo o conjunto dos reais, Dom(f)=ℝ. Para achar a imagem, analisamos cada ramo:
– No ramo x≤−5/2, f(x)=−x+6 cresce para ∞ quando x→−∞ e vale f(−5/2)=17/2;
– No ramo −5/2≤x≤1/3, f(x)=−5x−4 varia de f(−5/2)=17/2 até f(1/3)=−17/3;
– No ramo x≥1/3, f(x)=x−6 cresce para ∞ quando x→∞ e vale f(1/3)=−17/3.
Logo, o valor mínimo é f(1/3)=−17/3 e não há teto superior, então Im(f)=[−17/3,∞).

Passo 4

O gráfico é formado por três segmentos de reta que se encontram nos pontos de quebra:
– Reta y=−x+6 para x≤−5/2, passando por (−5/2,17/2);
– Reta y=−5x−4 para −5/2≤x≤1/3, ligando (−5/2,17/2) a (1/3,−17/3);
– Reta y=x−6 para x≥1/3, passando por (1/3,−17/3).
Isso resulta num “V” invertido até x=1/3 e depois uma reta crescente.

Passo 5

A função é decrescente em (−∞,1/3] (slopes −1 e −5) e crescente em [1/3,∞) (slope +1). Como ela não é monotônica em todo ℝ, não é injetora.

Resposta

Domínio: R.
Imagem: [−17/3,infty).
Não é injetora.
Gráfico: segmentos de reta dados por
y= −x+6,&x≤−5/2, −5x−4,&−5/2≤x≤1/3, x−6,&x≥1/3

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